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《随机过程》布朗运动常返性逻辑悖论

已有 544 次阅读 2022-8-11 11:15 |个人分类:随机过程|系统分类:科研笔记

“悖论”是英文paradox一词的意译,从字面上讲就是荒谬的理论。弗兰克尔和巴-希勒尔在其《集合论基础》一书中给出了逻辑悖论的定义:如果某一理论的公理看上去是真实的,它的推理规则也是合理的,但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题,那么,我们就说这个理论包含了一个逻辑悖论。

逻辑悖论是推动数学学科取得创新发展的强大内在动力。“毕达哥拉斯悖论”、“贝克莱悖论”和“罗素悖论”分别引起了数学史上的三次重大数学危机,也分别导致了数学史上的三次重大数学突破。

一、《随机过程》布朗运动定义

X(t)为一个布朗粒子在t时刻的位移,X(0)=0,定义

1X(t)为平稳独立增量过程;

2X(t)N(0σ2 t),其中σ>0为常数;

3X(t)t的连续函数。

则称X(t)是参数为σ2的布朗运动或维纳过程。

二、《随机过程》布朗运动常返性

X(t)是一维布朗运动,则X(t)常返的,即

P[X(t)=0,i.o.]=1

表示时间t充分大时,从原点出发的布朗粒子返回原点无穷多次的概率等于1。

三、《随机过程》布朗运动常返性逻辑悖论

根据布朗运动定义,X(t)t时刻的方差为

D[X(t)]=σ2 t,   >0 时,D[X(t)]0

由布朗运动常返性,存在任意大的时刻>0,使得X(t)=0,根据《概率论》常数的方差等于零性质,因此有

>0 时,D[X(t)]=D[0]=0

      显然,根据布朗运动常返性得出的方差与布朗运动定义互相矛盾

四、结论

科学理论是具有一定逻辑结构的理论体系,必然要求理论内部在逻辑上自洽,不能出现自相矛盾的逻辑悖论。逻辑完备性是判断科学理论真伪的重要评价标准之一,一旦在某个科学理论中发现了逻辑悖论,则表明该理论的逻辑完备性遭到破坏,该理论被证伪。爱因斯坦曾经说过:“相对论主要吸引人的地方在于逻辑上的完备性。从它推出的许多结论中,只要有一个被证明是错误的,它就必须被抛弃;要对它进行修改而不摧毁其整个结构,那似乎是不可能的。”


参考:

布朗运动理论中的反常问题及原因分析(预印本)




https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1350799.html

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