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《随机过程》布朗运动基本假设与随机过程定义不符

已有 554 次阅读 2022-8-10 14:14 |个人分类:随机过程|系统分类:科研笔记

根据《随机过程》教科书中的随机过程定义,一个布朗粒子的位移与时间之间的数量关系只能被抽象为样本函数(时间函数),但是,《随机过程》布朗运动基本假设却将一个布朗粒子的位移与时间之间的数量关系抽象为随机变量,随机变量样本函数这两个内涵与外延完全不同的数学概念当作同一个概念使用不仅与随机过程定义不符,而且违反形式逻辑同一律,出现了“混淆概念”或“偷换概念”的逻辑错误。

一、随机过程及定义

自然界的事物变化过程可以分成两大类:确定过程和随机过程。

确定过程具有确定性的变化规律,每次试验观察到的变化过程完全相同,所有试验结果可用同一个时间函数x(t)描述。

随机过程没有确定性的变化规律,观察n个随机运动的质点位移,会观察到n个不同的位移变化过程(图1),这n个位移变化过程要用n个不同的时间函数x1(t)x2(t)xn(t)进行描述。

图 随机过程4.png

1 随机过程试验结果与随机过程定义

《随机过程》教科书将随机过程试验的所有可能结果映射到样本空间Ω,然后用二元函数X(ω,t)来描述随机过程试验结果。

随机过程定义:随机过程X(ω,t)是定义在Ω×T上的二元函数。对于固定的ωX(ω,t)是时间t的函数,称为样本函数或样本轨道,简记为x(t);对于固定的tX(ω,t)是样本点ω的函数,称为随机变量,简记为X(t)

一个样本函数x(t)对应着随机试验中的一次“测量结果”,即人们实际观察到的随机现象随时间演变过程,因此样本函数x(t)也被称为随机过程的一个“实现”。

随机变量X(t)描述的是所有样本函数x1(t)x2(t)xn(t)t时刻的取值,即所有质点在t时刻的空间位置分布情况。

显然,随机变量 X(t)和样本函数 x(t)具有完全不同的物理意义。随机变量X(t)用来描述大量质点在t时刻的空间位置分布情况(统计规律),样本函数x(t)则用来描述一个质点的位移随时间的变化规律。

二、布朗运动基本假设与随机过程定义不符

根据图1所示的随机过程定义,一个布朗粒子在t时刻的位移x(t)只能被抽象为固定样本点ω时的随机过程X(ω,t),亦即样本函数x(t)

但是,《随机过程》教科书在布朗运动定义中却给出了如下的布朗运动基本假设:

x(t)N(0σ2 t)

  显然,布朗运动基本假设中的x(t)是服从正态分布的随机变量

布朗运动基本假设用描述大量布朗粒子空间位置分布情况的随机变量来描述一个布朗粒子在t时刻的位移x(t),与随机过程定义完全不符。

三、结论

《随机过程》布朗运动基本假设不仅与随机过程定义不符,而且违反形式逻辑同一律,把随机变量样本函数这两个完全不同的数学概念当作同一个概念使用,出现了 “混淆概念”或“偷换概念”的逻辑错误,从根本上破坏了《随机过程》布朗运动理论的逻辑完备性和客观真理性,导致《随机过程》布朗运动理论出现了一系列理论与经验事实不符和逻辑上不能自洽等反常问题。

 

参考:

布朗运动理论中的反常问题及原因分析(预印本)




https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1350684.html

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