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定性物理与定量物理的小认识

已有 1109 次阅读 2022-3-4 21:45 |个人分类:快乐科研|系统分类:科研笔记

物理学是一门高度定量化的学科。物理学追求高精度的结果,而这需要严密的逻辑以推出精确描述现实物理世界的数学模型,从牛顿力学的发展开始,人们定量认识了物体的运动规律;电动力学的发展,人们定量认识了电磁现象;相对论的发现,人们修正了对于高速情况下的物体运动规律;物理学作为高度定量化的严密学科受到了科学界的尊重。许多理论家仍致力于使用类似的研究方法来使用精度更高的数学模型来描述越来越小的物理世界。定量方法在物理学中获得了如此多的成功,以至于常常人们把高度定量化的世界视为“唯一的皇冠”,不论是定量还是定性的方法,重要的从来都是其中的逻辑,一味追求定量化的精准是一种片面的认识。在认识物理世界时,有时采用定性的认识能帮助我们更容易的认识其本质。

定性的认识往往更直观,定量化的优点是精准。举一个例子,考虑圆电流在自身平面内的磁场分布情况。

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图一:圆电流自身平面外部的磁场分布求解图

非常直白地,我们可以把圆电流的自身平面分为内外两个部分,其中内部的特殊情况即圆心处具有极高的几何对称性质。将圆电流视为无数个元电流,可以发现每个电流元至圆心距离相等,且方向垂直,利用毕奥萨伐尔定律得到圆心处磁感应强度:

image.png

而当位置点不取为圆心时,这个求解过程则将复杂许多,如图一求解外部一点P上的磁感应强度,圆电流上各元电流与P点距离不相等且方向不垂直,只有垂直部分对P点磁感应强度有贡献,我们只能同样的通过毕奥萨伐尔定律进行计算。圆周上任取一点A上有一电流元。

image.png



二者之间夹角为,上式的标量形式为,

image.png


作EP,FP切于圆周上E.F点,A点取在圆周不同位置上对P点磁感应强度贡献不同,但E,F点为临界点,弧EAF对P点磁感应强度贡献垂直纸面向外,弧EDF对P点磁感应强度贡献垂直纸面向内。可见P点磁感应强度由两部分构成,设定垂直纸面向外为正方向。

image.png


image.png,三角形几何关系很容易求得的大小


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将整个圆电流区分为两个区域弧EAF和弧EDF有一个好处就是可以方便地定义距离r

弧EAF: image.png

弧EDF: image.png

得到几何关系

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这样子就可以将进行方便的积分了

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考虑到两个积分都是偶函数,可以简化为半个积分区间

image.png

这个积分过程中,恒成立

我们可以放心的换元,得到

image.png

将积分换为

image.png

再次换元,得到

image.png

计算到此步,继续简化已经没有多少意义,类似的也可以得到圆电流内部非圆心的分布情况

image.png

解析形式无法进一步简化,则我们可以采取数值解了解圆电流平面内的磁感应强度分布:


图2圆电流平面内的磁感应强度随参考点与圆心距离分布图

从此处的计算可以看出磁场大概的分布是从圆周向圆心靠近过程中磁场从无穷大减弱到,而在外部则是从无穷大逐渐削弱到零。如果想知道更详细的变化规律,我们可以对上述结果进行展开来了解。


但是事实上我们采用定性的方法可以更简便的认识这个问题,参考点在圆内时,圆电流可以近似为无限长直导线

image.png

b为直导线距离参考点的距离,此处为R-a,所以在起点至R范围内磁感应强度应与成R-a反比,而在圆外无穷远时,可以将圆电流视为磁偶极子,则磁感应强度与a三次方成反比。通过定性的分析我们可以抛开复杂的积分过程对这个问题达到并不逊色的了解程度。

上述讨论想要表达的是我们进行一般的科学探索时,也可以先从定性或者半定量的方法入手,一头直接扎进去计算往往会让简单的问题复杂化。

                                                                                                                           摘于物理前沿课业报告(2021.06.27



参考文献

[1]定性与半定量物理 [M]. 赵凯华. 高等教育出版社. 1991







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