1.布尔逻辑运算是算术运算的抽象

布尔逻辑代数如下：

值域：真,假。

基本运算符： 与，或, 非。

如果将值域对应到整数：

真  对应 1，假 对应 0，

基本运算对应到算术运算：

与 对应 乘；

加 对应 或

非 对应 用最大数减（求补）。

那么，逻辑运算就是算术运算的一个子集：

真 与 假 = 假   对应  1 X 0 = 0

真 与 真 = 真   对应  1 X 1 = 1  

真 或 假 = 真   对应  1 + 0 = 1

假 或 假 = 假   对应  0 + 0 = 0

非 假 = 真      对应  1 - 0 = 1

非 真 = 假      对应  1 - 1 = 0 

假若 把1可以理解是对全体的正整数的抽象，0只代表0，那么，在自然数上进行加，乘和求补运算，就被抽象为是布尔代数。

2.对复数算术运算进行逻辑抽象得到复逻辑

复数，形如： z = a + bi,其中a,b为实数，分别为实部和虚部。复数支持乘法，加法和求补的运算。

其中，a,b只取自然数，仍然满足复数运算规则。

进一步，将作为自然数的a,b进行如下抽象：

全体正整数抽象为1，0 还是 0，

那么，基于自然数虚实部的复数加法、乘法和求补运算就被抽象为一种逻辑运算。

也就是，a,b只取真，假值的布尔逻辑，于是，复逻辑产生：

真 + 真i,  真 + 假i， 假 + 真i, 假 + 假i成为四种复逻辑值。

按照复数运算规则，同样可以产生复逻辑数的与、或、非运算。(i^2 = -1)

如：  （真 + 真i） 与 （真 + 假i） 对应经抽象的复数运算 （1+i）X(1+0*i) = 1 + i

所以：

  （真 + 真i） 与 （真 + 假i） = 真 + 真i

类似可推导其他复逻辑的逻辑运算规则。

3.对全体整数的算术运算进行抽象得到三态逻辑

将负整数抽象为“缺真”，由 -1 表示；正整数抽象为“多真”，由 1 表示； 0 抽象为“假”

则，全体整数被抽象为  “缺真”、  “多真” 和   “假”三种逻辑态。

同理，整数上的乘、加和求补运算依然抽象为与、或、非运算。得到三态逻辑运算。推导过程略。

三态逻辑的基本运算法则可以认为是以布尔逻辑为正逻辑，以假（0）值为对称点，向负向对称镜像产生的“负逻辑”。

对于三态逻辑中的非运算，按照运算的镜像对称法则，应当扩展一种负逻辑的求补，作为“负非”运算。

负非运算如下：

  负非（缺真） = 假  整数运算为：-1 -（-1） = 0

  负非（假） =   缺真  整数运算为：-1 - 0 = -1

是否可以将逻辑数值进行“跨越镜面”的混合运算呢？应该是成立的，如下：

缺真 与 多真 =  缺真 对应的 整数运算为：-1 X 1 = -1  

缺真 或 多真 = 假 对应的 整数运算为：-1 + 1 = 0

负非（多真）=  缺真 对应的 整数运算为：-1 - 1 = -2 抽象回 -1      

非（缺真）=  多真 对应的 整数运算为：1 -（-1） = 2 抽象回1   

4.将三态逻辑和复逻辑合并叠加得到全逻辑

 也就是，将 z = a + bi,中的a,b取三态逻辑数，仍然可进行与或非运算。

用抽象的整数表示的逻辑值即：

a,b ∈{-1,0,1}

运算类型为 与、或、负非、非四种，对应算术算符：X,+, -1-(z)和1-(z).（z∈{-1,0,1}）

用抽象过的算术表达如下：

逻辑数有：

-1-i, -1, -1+i,(a=-1,b=-1,0,1)

1-i,1,1+i, (a=1,b=-1,0,1)  

-i,0,i, (a=0,b=-1,0,1)

逻辑运算如下：

(-1-i)的与运算推导举例：

（-1-i）X (-1) = 1 + i   

（-1-i）X (-1+i) = 1 - i + i -(-1) = 2 = 1

（-1-i）X (1-i) = -1 + i - i + (-1) = -2 = -1

（-1-i）X 1 = -1 - i

（-1-i）X (1+i) = -1 - i - i - (-1) = -2i = -i  

（-1-i）X (-i) = i + (-1) = -1 + i

（-1-i）X 0 = 0

（-1-i）X i = -1i - (-1) = 1 - i    

类似地，可推导其它逻辑数的其他运算。相应地我们肯定可以找到对应的逻辑含义的理解。

5.将1维的整数轴扩展到二维的平面进行各种逻辑抽象得到平面逻辑

推广内容包括：

1.将"数轴布尔逻辑"(传统的布尔逻辑)扩展为"平面布尔逻辑".平面逻辑点（Bx,By）,是对平面直角坐标的第1象限的抽象。

抽象为只有四点：

（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）。

按照整数运算规则，可找到平面逻辑运算的规则。

2. 将"数轴复逻辑"(复逻辑)扩展为"平面复逻辑",平面复逻辑点为（FBx,FBy）。

其中，FBx,FBy取复逻辑值，即  FBx,FBy ∈（0，i,1,1+i）。

这里有必要理解一下“数轴复逻辑”就是之前提到的“复逻辑”，隐含的含义是：

通常的复数，只是与一维实数轴对应的复数，只是“一维的复数”，是：只在一维实数轴上取实部和虚部实数得到的复数。

其实，与二维实平面也可以对应有“二维的复数”。相应应该得到“二维的复数平面”（不是“复平面”），是两个“相互正交的复数数轴”形成的平面。与复平面是一种代数解析平面不同，复数平面是一种“复的几何平面”。

将复几何平面抽象的结果，就得到复逻辑几何平面。

实际上，复逻辑几何平面只包括如下的“点”：

（0,0),(0,i),(0,1),(0,1+i);

（i,0),(i,i),(i,1),(i,1+i);

（1,0),(1,i),(1,1),(1,1+i);

（1+i,0),(1+i,i),(1+i,1),(1+i,1+i);

3. 将"三态逻辑"扩展为"平面三态逻辑",平面三态逻辑点为（TBx,TBy）。是对平面直角坐标系的全部四个象限的几何三态逻辑抽象

抽象为只有9点：

（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），（0，-1），（-1，0）,(-1，-1),(1，-1),(-1,1)。

按照整数运算规则，可找到平面三态逻辑运算的规则。

4. 将"全逻辑"扩展为"平面全逻辑",平面全逻辑点为（HBx,HBy）。是对平面直角坐标系的全部四个象限的几何全逻辑抽象

叙述略。

6.将2维的各种逻辑抽象扩展到3维或更高维空间可得到高维的各种逻辑空间。

叙述略。或许可以作为留给数学家们去做的工作吧。

有谁完整地发现过这个体系吗？

这个体系正是我设想的立体程序的基础。

当然，我认为，此体系的发现的意义，远非如此，很多人又有活干了。

总结：整个关于连续数的数学体系，可以逻辑化抽象为逻辑学体系。

所以，逻辑学是数学的骨架之一，或者说，逻辑学是一种骨架数学。

附图：

1.从数量空间到逻辑空间的浓缩

 

2.一维全逻辑空间的由来

3.二维全逻辑平面

第3张附图没有将位置空间和数值空间剥离表达，容易引起误解，请参考改进表达：空间分布的数值属性的逻辑化压缩

http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=33982&do=blog&id=436774

 

我对一维数轴的定义是：“一个数，按其大小顺序经历其所有可能的值，形成其一维的数值空间，也就是其一维的数轴”。吴老师请直接指出这个定义的哪里不对？

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