1. 大家觉得Dirichlet函数是简单还是复杂呢? 从定义域看，它是复杂的; 从值域看，它是简单的。前者是Riemann积分的视角，后者是Lebesgue积分的视角。值域如此简单的函数竟然不是Riemann可积的，这也从某个侧面反映了Riemann积分的局限性。

2. 在Lebesgue积分理论的框架下，极限与积分交换次序的运算显得更为简单、方便。从偏微分方程、调和分析等后继学科来看，控制收敛定理、Fatou引理和Fubini定理会经常用到。广义Minkowski不等式可视为Fubini定理的某种替代物。

3. 欧氏空间上的Lebesgue测度是度量点集大小最自然的方式之一，其严格定义被证明是数学中最有用的一种测度定义，它也是我们研究抽象测度最重要的基本模型。换言之，如果希望某个抽象测度具有好的性质，那么它和Lebesgue测度不应该相差太远。举例来说，关于Lebesgue测度绝对连续的正测度，可以写成L测度的某种加权形式(Radon-Nikodym定理)，这使得相关的积分问题变得容易操作了。

4. 在处理积分时，一个常用的技巧是先对正则性较好的函数建立结论，再利用稠密性对一般的可积函数得出结论。调和分析与偏微分方程中有所谓的正则化原理，大意是通过与好的函数作卷积来起到磨光的作用。

5. 由Vitali覆盖引理可推出Hardy-Littlewood极大算子的弱(1,1)有界性，本质上只用到底空间的拟度量和双倍测度性质。H-L极大算子的加权有界性引出所谓的Ap权理论。在由Ap权条件导出H-L极大算子的强(p,p)有界性时，最关键的就是反向Holder不等式。

6. 向量值Hardy-Littlewood极大算子的有界性和通常情形稍有不同，尽管弱(1,1)有界性是类似的(因为此时仍有Calderon-Zygmund分解引理成立)，但由于算子的非线性性，其不再具有L^infty有界性。这时的处理办法是先做1<p<=2的情形，再借助于一个加权不等式过渡到p>2的情形，后者本质上起到了替代对偶论证的作用。

7. Fourier分析的一个显著特色是从频率空间看问题。举个简单的例子，在物理空间中充分分离的函数于频率空间中是几乎正交的。