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工程师的视角看极限

已有 2012 次阅读 2021-4-14 09:59 |系统分类:科研笔记

极限是高等数学的基础概念。我们在教科书看到的极限定义,是柯西提出,并经过魏尔斯特拉斯完善的,采用ε-δ语言定义。这个定义对于初学者来说,是如此的不直观、困惑。但确实解决了牛顿、莱布尼茨对无穷小概念的一个漏洞。

下面以求函数y=x2的导数为例说明问题。从直觉出发,有下面的推导过程,假设Δx是无穷小:

image.png

在上面的推导中,倒数第2行,2x+Δx=2x,这说明Δx是零,因此可以被略去。倒数第3行,分子分母都有Δx,然后消去,则说明Δx不是零,因为00是完全无意义的。

矛盾来了,Δx既是零,又不是零,这违反了形式逻辑,对于数学这样最讲究严密的学科来说,是说不通的。牛顿和莱布尼茨都没有解决这个问题,眼尖的学者自然不会放过,贝克莱主教在他的著作中提出了严厉的批评:用忽略高阶无穷小而消除了原有的错误,是依靠双重的错误得到了虽然不科学却是正确的结果。由此引发了数学史上的危机(上一次危机是毕达哥拉斯门下有人发现无理数的存在),贝克莱的攻击虽说出自维护神学的目的,但却真正抓住了当时微积分理论中的缺陷,是切中要害的。

   用柯西和魏尔斯特拉斯的方式,就没有问题了,柯西明确定义导数就是极限:

 image.png

 按照魏尔斯特拉斯给出的ε-δ方式,y=x2的导数应该这么理解:

 任意给定很小的正数ε,如果总是可以找到另一个正数δ,使得满足不等式:

image.png时,(由这个不等式可以看出,显然Δx不是零)。

 image.png

下面我们开始寻找正数δ,显然,令:δ<ε,立即可证之前的所有不等式,问题得到圆满解决,不会有什么形式逻辑上的矛盾。

看到这里,是不是感觉有些无聊?下面进入本文的重点,怎样从工程师的视角来理解极限?

我们在工程实践中,获得某个函数,这个函数是从哪里来的呢?无非是,要么是直接采用测量数据,绘制成函数,这种一般没有解析表达式;要么是采集冗余的测量数据,再用最小二乘等数据处理方法拟合。无论如何,来源于测量数据,测量数据都必然有误差,包括系统误差和随机误差、还有粗差。误差的分析和处理是工程实践的重中之重。

我们求y=x2的导数,希望不扩大原先测量数据的误差,这一条如果做不到,至少误差能够限定在工程可控的范围。从这个视角出发,ε-δ语言是对误差范围的一种控制。 假定在某个工程中,ε是我们能接受的误差的限度,那么,只需要保证:

image.png

完全可以略去Δx,这是因为,我们可以保证Δx的绝对值小于之前给定的误差限度。

下面是个人的想法:就算是纯数学的很多概念,它的来源也是生产实践。而不是教科书那样的,从定义、公理出发,然后定理推导,最后不痛不痒地给几个例子。当然,课堂的教学时间有限,教科书写成这样是不得已。对于工程师来说,把数学来源、以及与工程的联系搞清楚,有助于理解数学,更有助于应用数学,真正把数学转换为生产力,定理的严格证明反而不是最重要的。但是工程师不能把数学学完、考试通过,然后就把数学都扔了。工程师和数学专业工作者的任务是极其不同的,对于数学家来说,他们更关心数学这个工具本身的完备性。

上面的例子,是说明极限概念的理论价值,填补了牛顿、莱布尼茨的一个理论漏洞(要完全填补,还需要建立完整的实数理论、以及测度的概念,本文不涉及)。当然,极限概念本身也有直接的工程价值,这种工程应用的效果是非常惊人的。

下面以圆周率的计算为例,我们很早就知道圆周率是3.14,对于木匠做一个圆桌,用3.14当然是足够了。但是进入工业化社会,生产标准化的零件、轴承、高精密度的仪器,3.14就不够精确了。因此,在很长一段时间,圆周率的计算是有工程背景的。以电力系统专业做例子,我以前测算过,如果圆周率取3.14,而不是更高精度。某高压直流输电工程的潮流计算结果,会带来兆瓦级的功率误差。

在高等数学还没建立的时期,人们用圆的内接或外切正多边形来逼近圆。正多边形的边越多,就越接近于圆。具体的推导我就不列出了,总之,这是一个极其繁琐、工作量很大的工作。有大量的开根号操作,考虑到古人没有计算器、计算尺,完全手算,确实麻烦。

值得一提的是我国南北朝时期杰出的数学家祖冲之,得到了圆周率在3.14159263.1415927之间,这是一个伟大的成就。

高等数学建立后,特别是极限的概念有了以后,很多常量或者非常量的计算(如三角函数、对数)可以用级数展开的方式。更重要的是,在级数展开有限步后,剩余误差是可以估计出的。如果查看C语言的底层实现(C 标准库),会发现很多函数是用级数展开求解的,例如对数、三角函数等。如果CPU硬件的指令集可以直接支持某个函数计算,那多半也是用级数展开,只不过通过微指令的方式,固化到硬件层面来实现。

还是回到圆周率,祖冲之用了大半辈子的时间,才终于算出了较精确的值。时间到了18世纪,大数学家欧拉是怎么计算圆周率呢?

   arctan有下面的级数展开公式:

   image.png

仅仅展开到6项,就可以得到3.14159265357.

据欧拉本人说,他算出圆周率20位小数,全部时间只花了大约1小时。祖冲之半辈子的成果,不及欧拉的1小时。这就是高等数学巨大的威力,这就是人类的智慧。

从工程师的角度来说,一个顶尖的理论创新成果,不仅在理论上有很大的意义,在工程实践应用上,也有降维打击的效果。要么解决以前根本不能解决的问题;要么成本有很大的下降。有的成果可以把应用效果从99分提高到99.1分,但是本身的成本提高了,或者带来了其它问题,例如数值稳定性下降、可解释性下降、工程管理难度提高等等。这样的成果,对工程师来说,需要客观看待。



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