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关于常微分方程求解的一些整理

已有 5983 次阅读 2016-10-14 21:58 |系统分类:科研笔记

   

   一些工程问题的求解涉及到常微分方程的求解,如二阶偏微分方程分离变量后出现常微分方程组。我翻了一下一些资料,希望就常微分方程求解的一些结论做下整理。


  1、一般的n阶线性常微分方程如下:

  $y^{(n)}+a_{1}(x)y^{(n-1)}+\cdot \cdot \cdot +a_{n-1}y{}'+a_{n}(x)y=f(x)$       (1)

  其中 $a_{i}(x)(1\leq i\leq n)$ 与f(x)是定义域上的连续函数。

  非齐次:f(x)≠0齐次:f(x)=0

  变系数: $a_{i}(x)$ 是关于x的函数;常系数: $a_{i}(x)=a_{i}$ 是常数

  非线性:方程中有y的某一阶导数的乘方项;线性:y的任一阶导数均为一次方,如式(1)

  常微分 $y^{(n)}=d^{n}y/dx^{n}$ ,无偏微分

  (1)存在定理:任给 $x_{0}\in I$ 与一组初值 $y_{0}^{(i)}(0\leq i\leq n-1)$ ,方程(1)在I上存在唯一的解y满足初值条件。

  (2)设 $y_{1},y_{2},\cdot \cdot \cdot ,y_{n}$ 是(1)的齐次形式在I上的一组线性无关的解(一个基本解组), $y^{*}$ 是(1)在I上的任一特解,则(1)的通解为:

  $y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+\cdot\cdot\cdot +c_{n}y_{n}+y^{*}$

  (3)一般的n阶线性常微分方程,当n≥2时无求基本解组的普遍有效方法。

  2、齐次常系数线性常微分方程的求解问题完全归于其特征方程的求解,即一元n阶代数方程求解问题,当2≤n≤4时有根式解。阿贝尔、伽罗华证明:对于一般的一元n次代数方程,n≥5时根式不可解,即无精确代数解法。

  由此推论,一般的常系数线性常微分方程,5阶及以上无解析解。


         [1]华中科大数学系. 微积分学. 上册[M]. 高等教育出版社, 2008:236-266

         [2]李莹. 谈一元n次方程的求解[J]. 科技信息, 2009(30):89-89.


P.S.最近解Helmholtz方程解得好痛苦,就是集肤效应和邻近效应的方程,我还没能顺着推导出结果……



170315

     上面所说的解析解,是数学上的解析解,是有限次初等函数运算构成的表达式。

而工程上的解析解analytical solution/closed-form expression,是由计算机常见运算(可能是无穷级数、特殊函数、数值积分)构成的表达式。工程上解析解的要求比数学上的定义弱,只要能用计算机直接计算的自变量构成的表达式,都叫做因变量的解析解。

工程上数值解就是使用数值方法得到的数表,这是对应特定自变量取值的因变量实际值。即使有表达式,本质也是数值拟合的,而不是分析方法得到的。




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