用于求解动力系统响应的数值算法主要有两类，一类是模态叠加法，另一类是时间直接积分算法。一般而言，求解动力系统响应的单步时间直接积分算法首先是针对线性动力系统运动方程而设计，并假设系统能解耦，再推广应用到求解非线性动力系统响应。

 由清华大学出版社出版的张雄和王天舒编著的书《计算动力学》^[1]中入编的比较有名的单步时间直接积分算法有中心差分法，Houbolt算法，Newmark算法，Wilson-θ算法，广义α法^[2]（即the generalized-α method）。

  其实广义α法不是J.Chung 和G.M.Hulbert 的原创，其最早见于1988年邵慧萍和蔡承文发表的两篇论文[3,4]，在邵写的文[3]中称为X schemes，在蔡写的文[4]中称为ρ方案，在J.Chung 和G.M.Hulbert1993年发表的论文中称为the generalized-α method（即广义α法）。可以遗憾而肯定的说，时隔五年J.Chung 和G.M.Hulbert在1993年发表的高被引著名论文[2]全面copy了邵、蔡在1988年发表的两篇论文的成果。

说起文[2,3,4] ,不得不提在文中被设计的另一个比较有名，并得到商业应用的算法HHT-Methods（HHT-α methods）。

不幸的是，这3篇论文^[2,3,4]都把这个methods称为HHT-Methods（HHT-α methods），在文[2,4] 中干脆与1977年发表的论文[5]中提出的α methods混为一谈，当做同一个算法。其实1977年发表的文[5]中提出的α methods没有考虑系统的阻尼，在载荷的处理上与前者也是不同的，这是两个截然不同的算法。事实上，文[5]中提出的α method是个无法投入实用的算法，在我眼里，相当是个数学游戏。

 在文[3]中邵简单的把HHT-Methods当做是文[5]中提出的α method的推广，同时指出了后者没有考虑系统阻尼。其实在邵的硕士论文[6]中，确是把新算法称为改正的HHT-methods的。之所以在正式发表的论文[3]把它称为HHT-methods，是因为导师蔡承文在我写硕士论文时坚持把前者说成是HHT-methods，我在写英文论文时就屈服写成了HHT-methods。其实HHT-methods是邵、蔡论文中的原创算法，并且写出可以推广到非线性系统。确切的说，把HHT-Methods 称为SC1-ρ Methods比较妥当。

 文[3]是我的英文论文处女作，正式发表的第一篇论文。毋庸讳言，在论文里面有很多语法上和拼写上的错漏瑕疵，还有很大的纰漏，如华东工学院英文名不规范，浙江大学英文拼错，公式中有漏写和错写,缺陷遗憾比较大。但这不是我故意所为。原因主要是汉语拼音不过关（我小学一年级是在常州丁堰小学读的，没学得汉语拼音），英文不太好，不知排版，刚刚毕业不久，疲惫之身亚健康，当时华东工学院103教研室王家庠老师要我写篇英文论文参加国际学术会议，急匆匆无意中就弄成这样了。但坦率的说，我文中的错误纰漏都是可以分辨出来的。在此我对专家学者们说声抱歉请谅解。

前段时间我把这篇论文重新打印排版了，改正了里面的一些语法错误和错漏，并对重要的纰漏和重点写了批注，作为对这篇论文的回顾、总结、反思、检讨和订正。

由我撰写的这篇英文处女作论文,虽然有瑕疵，但却是篇不应该被忽略的重要的经典论文，在美国《应用力学评论》上可以检索到（A），论文在图书馆也可以买到。在论文中我首次提出了单步直接积分算法的最标准的一阶线性插值模型，独立推导了仅对于动力系统位移的算法差分方程。

毫不讳言，这篇论文在位移误差的结论上也有大错误，主要原因之一是因为当时的研究条件的限制。

可喜的是，在我后来的研究^[7-13]中，我重新研究了这个由我和蔡首提的相对普适的算法模型，推得了对于这个算法模型的所有参数对关于位移、速度和加速度的完整误差理论，同时得到了这个算法模型的极值终结优化算法SHP0N算法（Method）。SHP0N算法（Method）属于原创非首提，在我原创推导出来之前处于废弃不用状态。用我推得的完整误差理论同样可以计算得出SC1-ρ Methods完整的位移、速度和加速度误差。

  说起HHT-Methods（SC1-ρ Methods），不得不提1979年出笼的另一篇报告《Analysis of Pipe》^[14]，在文中第3-15页到3-17页，针对非线性系统提出一个算式。这个算式和将SC1-ρ Methods推广应用到非线性动力系统是一致的，但和Hilber,Hughes和Taylor在1977年提出的算法是不一样的。这个算式恐怕是一种先见。

这篇报告我本人在1984年至1988年是无法看到的，报告中的内容没有被发现在正规的刊物上发表过。

     总之，为了正本清源，本文指出1993年Chung等两人发表的高被引著名论文全面copy了邵、蔡88年的成果；指出全球商用化的HHT-Methods（HHT-α methods）和α-Method是明显不同的算法，前者称为SC1-ρ法（Methods）比较妥当；对文[3]做了回顾和检讨，指出这是一篇不应该被忽略的重要的经典论文；简单介绍我近年研制的具有完全知识产权的原创成果之一求解动力系统响应的极值终结优化SHP0N算法，用我原创研制的算法关于位移、速度和加速度的完整误差理论可以计算SC1-ρ Methods的理论误差；对参考文献[14]做了简要说明。

主要参考文献

[1]张雄，王天舒.计算动力学.清华大学出版社，2007年

[2]J.Chung,G.M.Hulbert. A Time Integration Algorithm for Structural Dynamics With Improved Numerical Dissipation:The Generalized-α Method.Journal of Applied Mechanics,Vo.60/371,1993

[3]Shao hui ping ,Cai cheng wen.The Direct Integration Three-Parameters Optimal Schemes for Structural Dynamics.IC Machine Dynamics And Engineer Application 1988[C].China Xi’an Jiao Tong University Press,1988

[4]邵慧萍，蔡承文.结构动力学方程数值积分的三参数算法[J],应用力学学报，1988,5（4）,76-81

[5]H.M.Hilbert,T.J.R.Hughes,R.L.Taylor.Improved numerical dissipation for the time integration algorithm in structural dynamics.Earthq. Engng. Struct.Dyn.V.5,283-292(1977)

[6]邵慧萍.求解结构动力响应的直接积分方法研究[D]硕士学位论文，杭州，浙江大学（工程）力学系，1987.

[7]邵慧萍.若干组用于求解结构动力系统响应的单步时间直接积分算法.中国版权保护中心 登记号：2010-A-023391.

[8]邵慧萍.求解动力系统响应的单步时间直接积分算法误差分析.中国版权保护中心 登记号：2010-A-027987

[9]邵慧萍.求解动力系统响应的单步时间直接积分算法及其相应的误差理论简介.中国版权保护中心 登记号：2011A-043377

[10]邵慧萍.求解线性动力系统响应的优化SHP0N算法误差分析（一）.中国版权保护中心 登记号：国作登字-2016-A-00265340

[11]邵慧萍.求解动力系统响应的单步时间直接积分算法误差再分析.中国版权保护中心 登记号：国作登字-2016-A-00323287

[12]邵慧萍.求解动力系统响应的SHP0N算法和SHPN0算法国作登字-2017-A-00345595

[13]邵慧萍.计算求解动力系统响应的单步时间直接积分算法误差系数程序V2.0，中国版权保护中心 登记号：2016R395927

[14]Hibbitt & Karisson Inc. Analysis of Pipe .EPRI NP-1208 Project 1234-1 Final Report Nov.1979

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