引言

今年是南水北调工程全面通水7周年。七年来，这项当今世界最大的水利工程已使包括北京超1300万人在内的人口受益，极大地改善了受益地的社会和生态 [1]。工程从汉江流域的丹江口水库调水，就需要对该流域的水文特征有深入的研究和掌握，才能最大限度地利用水资源。径流量预测模型作为一种基本的水文模型，在调水过程中发挥着基础性、源头性的作用，回答着“下个月有多少入库来水？”这样的基本问题。如何准确预测径流量呢？就需要构建符合自然规律的径流量预报模型。而Copula熵这一数学工具，在发现水文规律进而构建科学合理的预报模型中发挥了关键作用。

南水北调工程和丹江口水库

汉江是长江中游最大的支流，自西向东流经陕西和湖北两省，在武汉市注入长江。丹江口水库位于汉江干流上游，是南水北调中线工程的水源地，初期兼具防洪和发电等功能，现供水已成为其第一位的兴利功能。汉江流域大多为高山丘陵，属北亚热带季风气候区，降水量大，径流深。径流水源大部分来自夏秋季汛期（5-10月）降水，大约要占到全年径流量的7到8成左右，这其中，7至9月比重最大 [2]。考虑到其良好的水文特征，南水北调设计者经过大量勘查后，最终选择了丹江口水库作为中线战略水源地，向京津冀地区的城市供水。

丹江口水库调度

基本情况

丹江口水库的最主要设计功能就是防洪和供水，也有发电和航运等其他功能。最初，作为汉江流域控制性水利枢纽，防洪是其首要避害任务；而作为南水北调的战略水源地，供水是其首要兴利任务。避害和兴利是互补的关系：水库拦截下来的汉江汛期洪水，绝大部分都成为供水水源，仅少部分下泄到汉江中下游作为补偿性供水。根据南水北调中线工程设计成果，丹江口水利枢纽多年平均补偿汉江中下游下泄水量及清泉沟供水量合计为168.50亿m³，其中，清泉沟多年平均供水6.28亿m³，陶岔多年平均供水量94.93亿m³ [3]。

水库调度模型

经过多年研究和实践，南水北调中线形成了科学专业的供水调度方式 [3]，以满足不同的用水需求: 每年的调水周期在10月底汛期结束时开始，根据丹江口水库不同预见期的预报来水，考虑不同供水需求，按照库水位的高低，以供水调度线的控制水位为调度工具，进行分区调度，在保证水库安全的前提下，尽可能的蓄水和供水。安全第一，量入为出。供水调度因此会制定形成年度计划和月度方案，并随时进行调整。

入库径流量预报

预报的作用

来水预报位于供水调度逻辑链条的起始端，是其他调度动作的先决条件。因此，水库入库径流量的准确预报是水库科学管理和优化调度的基本依据。若调度不当，将非常不利于水库安全、中下游防洪安全以及南水北调中线工程的正常运行。因此，准确的径流量预报模型是南水北调工程运转的前提，通俗的讲，只有知道了每个月会有多少水量入库，才知道有多少水可以供应调度，只有预报的准确了，才会最大限度地利用水资源，而预报的不准确就会造成浪费，甚至危及工程安全。而由于汉江汛期水量比重大的特点，汛期的径流量预报又是评价预报模型准确性和实用性的主要考量。

预报模型的构建

水库来水量的预报，受气象、水文地质等多种因素的影响，模型的构建也无一定之规。预报模型各不相同，预报结果也不一致，给调度决策带来了不确定性。实际中，往往需要结合多个模型的各自优势，构建综合预报模型，以期获得最优的预报结果 [4]。

选择合适的预测因子作为预报模型的输入是预测模型成功的关键。一般考虑的因子就包括前期大气环流、海洋温度和径流等与未来径流量密切相关的特征。但是，这样的反映前期大气和海洋系统的气象因子和水文观测因子非常多，而其中只有少量因子与本流域的径流量有关，这就需要对它们进行评估和筛选。

多数研究的选择方法是计算径流量和预报因子之间的相关性，一般采用皮尔逊线性相关系数等工具。但相关系数等工具仅仅能衡量线性的相关关系，不能衡量非线性的相关关系；仅仅能处理高斯性的正态分布变量，不能适用于非高斯的变量。而不幸的是，自然界中变量大多都是不符合高斯分布，变量之间的关系也基本都不是线性的关系，这在地球系统的大气和海洋等子系统中更是如此。因此，利用相关系数等工具分析得到的预测因子不一定与径流量具有很强的相关性，得到的预报模型也就不尽合理，导致预报准确度往往不高。

Copula熵的应用

Copula熵（Copula Entropy：CE）是马健和孙增圻在2008年提出的一种相关性度量的数学概念 [5]。与相关系数等传统的度量工具相比，CE能够衡量包括非线性在内的所有相关关系。它具有多个理想的数学性质，是一种完美的相关性度量工具。我在文献[6]中已经介绍了CE的理论和应用，这里不再过多介绍。

黄朝君等人[7]在构建丹江口水口入库径流量预报模型时就引入了CE方法，以选择预报因子。该研究使用的是丹江口水库1956～2016年间天然径流逐月观测数据。考虑到大气环流因子和逐月径流过程之间的密切联系，他们利用CE对国家气象局气候中心的130项环流指数进行了筛选，选出了其中与径流量相关度高的10项作为预测因子，并与相关系数选择的10项因子进行了对比（如下表1所示）。

表1 丹江口水库入库7月平均流量的预测因子.

作者再基于所选因子构建了预测模型，利用1956～2006年的数据训练模型，并利用训练模型对2007～2016年的径流量进行预测。预测结果（如图1所示）显示，CE构建的模型预测准确度要明显优于对比方法的模型。从图1中可以很容易看出，CE的模型对径流量大的数据预测要大大好于对比模型，而这些大径流量正是对应着关键的汛期大水量的情况。

图1 丹江口水库1956～2016年逐月流量过程模拟结果对比. 左图为相关系数，右图为CE.

为什么CE的模型能成功？

关于模型的成功，作者从预测因子的角度进行了水文气象学意义上的分析解释，认为CE挑选的两个因子（南海副高脊线位置指数和印度洋偶极子指数）与长江流域夏季洪涝灾害之间有内在的联系，与已有的大量研究结论相符合。大量学者研究都曾指出，印度洋偶极子事件和南海副高活动都会导致本流域的夏季强降水和洪水的发生。这就说明了为什么CE的模型预测更准确的物理学原因，也表明了CE构建的模型更具合理性，符合大自然系统的运行规律。

总结

丹江口水库作为南水北调工程的水源地，其供水调度是工程成功的关键。准确的入库径流量预报，可以使科学的供水调度成为可能，从而最大限度地利用流域水资源。黄朝君等人利用CE构建的预报模型，由于更具有物理学意义上的合理性，从而预报的准确性更高，对南水北调工程来说无疑是非常有价值的。CE是模型构建中的主要数学工具，这也告诉我们数学在自然物理系统中存在的普遍性。水是生命之源，CE的引入使南水北调工程能够更科学合理地利用自然界中的水资源，无疑是一项造福社会苍生的功业。

参考文献

1. 叶晓彦,王一涵. 7年超73亿方“南水”北上润京, 全市直接受益人口超1300万. 北京日报, 2021年12月27日, 第3版.

2. 王元超,王旭,雷晓辉,等. 丹江口水库入库径流特征及其演变规律. 南水北调与水利科技, 2015, 13(1): 15-19.

3. 张睿,张利升,饶光辉. 丹江口水利枢纽综合调度研究. 人民长江, 2019, 50(9): 214-220.

4. 冉笃奎,李敏,武晟,等. 丹江口水库中长期径流量的多模型预报结果分析及综合研究. 水利学报, 2010, 41(9): 1069-1073.

5. Jian Ma and Zengqi Sun. Mutual information is copula entropy. Tsinghua Science & Technology, 2011, 16(1):51–54. See also arXiv preprint arXiv:0808.0845 (2008).

6. 马健. Copula熵：理论和应用. ChinaXiv:202105.00070 (2021).

7. 黄朝君, 贾建伟, 秦赫, 王栋. 基于Copula熵－随机森林的中长期径流预报研究. 人民长江, 2021, 52(11): 81-85.