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[每天一题]2013-11-23: 张祖锦 2013-12-29 20:39; 2013-11-23: 设 $f(x)$ 在区间 $ $ 上连续, 且 $$\int_0^\pi f(x)dx=\int_0^\pi f(x)\cos xdx=0.$$ 求证在 $(0,\pi)$ 内至少存在两个不同的点 $\xi_1,\xi_2$, 使得 $f(\xi_1)=f(\xi_2)=0$. 参考解答: http://bbs.sciencenet.cn/thread-1328302-1-1.html; 个人分类: 每天一题|1985 次阅读|没有评论

[每天一题]2013-11-22: 张祖锦 2013-12-29 10:16; 2013-11-22: 若幂级数 $\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty a_nz^n=f(z)}$ 的收敛半径为 $1$, $z_0\in \partial D(0,1)$. 证明: 若 $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}na_n=0}$, 并且 $\displaystyle{\lim_{r\to 1}f(rz_0)}$ 存在, 则 $\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty a_nz_0^n}$ 收敛于 $displaystyle{lim_{rto ...; 个人分类: 每天一题|2245 次阅读|没有评论

[每天一题]2013-11-21: 张祖锦 2013-12-28 11:10; 2013-11-21: 设 $\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换, 使得 $(\mathscr{B}\mathscr{A})^2=\mathscr{E}$ (其中 $\mathscr{E}$ 是 $V$ 上的恒等变换). 令 $\mathscr{T}=\mathscr{E}-\mathscr{A}\mathscr{B}$, 证明: $\ker(\mathscr{T})=im(\mathscr{T}-2\mathscr{E}).$ 参考解答: ...; 个人分类: 每天一题|2101 次阅读|没有评论

[每天一题]2013-11-20: 张祖锦 2013-12-28 11:02; 2013-11-20:设 $\mathscr{A}$ 是有限维线性空间 $V$ 上的线性变换. 已知存在正整数 $k$ 使得 $ker(\mathscr{A}^k)=ker(\mathscr{A}^{k+1})$. 证明: $ker(\mathscr{A}^k)\cap im(\mathscr{A}^k)=0$. 参考解答: http://bbs.sciencenet.cn/thread-1326845-1-1.html; 个人分类: 每天一题|2025 次阅读|没有评论

[每天一题]2013-11-19: 张祖锦 2013-12-27 19:41; 2013-11-19: 设 $f(x)$ 是 $[0,\infty)$ 上的单调函数，则对任意固定的 $a$, 有 $$\lim_{n\to\infty}\int_0^a f(x)\sin nx dx =0;$$若同时还有 $$\lim_{x\to\infty}f(x)=0,$$ 则 $$\lim_{n\to\infty}\int_0^\infty f(x)\sin nx dx=0.$$ 参考解答: http://www.vdisk.cn/down/index/16884431; 个人分类: 每天一题|1993 次阅读|没有评论

[每天一题]2013-11-18: 张祖锦 2013-12-26 19:21; 2013-11-18: 设 $f$ 在区间 $I$ 上连续, $|f|$ 在 $I$ 上一致连续, 则 $\sin^3f(x)$ 在 $I$ 上一致连续. 参考解答: http://www.vdisk.cn/down/index/16873026; 个人分类: 每天一题|2025 次阅读|没有评论

[每天一题]2013-11-17: 张祖锦 2013-12-26 19:12; 2013-11-17: 设 $f(x)$ 在 $(0,\infty)$ 上可导, 且 $\sqrt{x}f'(x)$ 在 $(0,\infty)$ 上有界. 证明: (1) $f(x)$ 在 $(0,\infty)$ 上一致连续; (2) 若把 ``有界'' 改为 ``$$\lim_{x\to 0}\sqrt{x}f'(x),\lim_{x\to \infty}\sqrt{x}f'(x)$$ 存在''. 试问还能推出 $f(x)$ 在 $(0,\infty)$ 上一 ...; 个人分类: 每天一题|1903 次阅读|没有评论

[每天一题]2013-11-16: 张祖锦 2013-12-26 18:49; 2013-11-16: 求幂级数 $$\sum_{n=1}^\infty\left x^n$$ 的收敛域, 其中 $y=y(x)$ 满足: $y'=x+y$, $y(0)=1$. 参考解答 http://www.vdisk.cn/down/index/16872342; 个人分类: 每天一题|1881 次阅读|没有评论

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