[每天一题专为数学专业的考研学子开设, 有时间与精力会接收一些同学问的题目, 而发布在这里. 我的邮箱: zhangzujin361@163.com. 不过并不能保证一定能即使解答, 能准确解答, 能解答; 能做的只是尽力解答 (一般是证明题, 除非是技巧不错的计算题).与此配套的有家里蹲大学数学杂志与其特刊:

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2013-12-06: (Blaschke 乘积) 设复数序列 $\{a_k\}\ (k=1,2,\cdots)$ 满足

$$0<|a_k|<1,\quad \sum_{k=1}^\infty (1-|a_k|)<\infty.$$

证明无穷乘积

$$f(z)=\prod_{k=1}^\infty\left(\frac{a_k-z}{1-\bar a_kz}\cdot \frac{|a_k|}{a_k}\right)$$

在圆 $|z|\leq r\ (0<r<1)$ 上一致收敛, 因而 $f(z)$ 在 $|z|<1$ 内全纯, $f(z)$ 以 $a_k\ (k=1,2,\cdots)$ 为零点, 且没有其他的零点, $|f(z)|\leq 1$.