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- 矩阵空间的两个稠密子集
- 热度 1
- 所有矩阵在范数下构成度量空间, 而有两个稠密子集, 一个是可逆矩阵的全体, 另一个是对角矩阵的全体.
- 矩阵交换后的特征值
- 定理. 设 ,则 的非零特征值（包括重数）相同.
- Caylay-Hamilton定理
- 定理. 设 是 的特征多项式, 则 .
- 矩阵的广义逆
- 设 , 则存在唯一的矩阵 满足以下四个方程: 这样的 称为 的 Moore-Penrose 逆. 证明思路. 考虑 的奇异值分解.
- 多项式的伙伴矩阵
- 多项式 的伙伴矩阵定义为
- 矩阵的数值半径
- 矩阵的数值半径 定义了一个范数.
- 正规矩阵的数值范围
- 定理. 设 是正规矩阵, 则 . 注记. 对正规矩阵而言, 数值范围就是谱集的凸包.
- 矩阵的Descarts分解
- , 各 都是 Hermite 矩阵.
- 矩阵的数值范围
- 矩阵的数值范围定义为 , 且 1. 是酉相似不变的； 2. 是有界闭凸的(Toeplitz-Hausdorff 定理).
- 矩阵的各种分解
- 奇异值分解 设 , 则存在酉矩阵 使得 极分解 设 则存在半正定矩阵 和酉矩阵 , 满足 满秩分解 设 ， , 则存在 分解 设 则存在酉矩阵 和上三角矩阵 , 使得 .
