当人们发明一对雏鸡和两天之间有某种共同的东西（数字2）时，数学就出生了。

                                 ——伯特兰罗素

1、记数的开端

如同古代世界的许多巨人一样，数学史上的先驱人物也消逝在历史的迷雾中。然而，数学每前进一步，都随同着人类文明的一次提高。亿万年前，那些居住在岩洞里的人就有了数的概念，在为数不多的事物中间增长或取出几个同样的事物，他们能分辩出多寡（不少动物也具有这类意识）。原来，对食物的需求出自人类的生存本能。慢慢地，人类就有了明白的数的概念：1，2，3，……正如部落的头领须要知道有多少成员，牧羊人也须要知道他拥有多少只绵羊。

在有文字记录以前，记数和简略的算术就发展起来了。打猎的人知道，把2枚箭矢和3枚箭矢放在一起就有了5枚箭矢。就像不同种族称呼家庭重要成员的声音大同小异一样，人类最初的计数办法也是相资源网似的，例如，当数羊的只数时，每有一只羊就扳一个手指头。后来，才逐渐衍生出三种有代表性的记数办法，即石子记数（有的是用小木棍）、结绳记数和刻痕记数（土坯、木头、石块或兽骨上），这样不仅可以记载较大的数字，也便于累计和保留。

在古希腊的荷马史诗《奥德赛》中有这样一则故事：当主人公奥德修斯刺瞎了独眼伟人波吕斐摩斯仅有的一只眼睛以后，那个不幸的盲老人每天都坐在自己的山洞里照顾他的羊群。凌晨羊儿外出吃草，每出来一只，他就从一堆石子里捡出一颗。晚上羊儿返回山洞，每进去一只，他就扔掉一颗石子。当他把凌晨捡起的石子全都扔光时，他就确信所有的羊儿返回了山洞。这则故事告知我们，很可能是牧羊人盘算羊群的只数发生了数学，正如诗歌来源于乞求丰产的祷告，这两项人类最古老的创造均源于生存的须要。

说来有点残暴，一些美洲印第安人通过收集被杀者的头皮来算计他们杀敌的数量，而一些非洲的原始猎人通过积聚野猪的牙齿来算计他们杀逝世野猪的数量。据说，居住在乞力马扎罗山坡上游牧民族的少女习惯在颈上佩戴铜环，其个数等于自己的年纪，这比起如今缅甸某些少数民族的妇女所坚持的类似的习俗多了审美以外的含义。从前，英国酒保往往用粉笔在石板上画记号来计数顾客饮酒的杯数，而西班牙酒保则通过向顾客的帽子里投放小石子来做这一计数，这两种不同的计数办法似乎也反应出这两个民族不同的个性：谨严和浪漫。

后来，就发生了各种各样的语言，包含对应于大小不同的数的语言符号。再后来，随着书写方法的改进，就形成了代表这些数的书写符号。最初，在诸如两只羊和两个人所用的语音和用词也是不同的。例如，在英语中team of horses（共同拉车或拉犁的两匹马），yoke of oxen（共轭的两头牛），span of mules（两只骡），brace of dogs（一对狗），pair of shoes（一双鞋），等等。至于汉语里的量词变更，那就更多了，且一直保存至今。

可是，人类把数2作为共同性质抽象出来，并采取与大多数具体事物均无关的某个语音来替代它，或许是经过了很长时光才实现的。如同英国哲学家兼数学家伯特兰罗素所说的，“当人们发明一对雏鸡和两天之间有某种共同的东西（数字2）时，数学就出生了。”而在我看来，数学的出生或许要稍晚一点，即是在人们从“2只鸡蛋加3只鸡蛋等于5只鸡蛋，2枚箭矢加3枚箭矢等于5枚箭矢，等等”中抽象出“2 + 3 = 5”之时。

2、数基和进制

当须要进行更普遍的数字交换时，就必需将计数办法体系化。世界各地的人们不约而同地采用了以下办法：把从1开端的若干持续的数字作为根本数字，以它们的组合来表现大于这些数字的数。换言之，如果大于1的某个数b作为计数的进位制或基（base），并肯定出数量1，2，3，……，b的名称，则任何大于b的数均可以用这b个数的一个组合表现。

有证据表明，2，3和4都曾被当作原始的数基。例如，澳大利亚昆士兰州的原住民是这么计数的，“1，2，2和1，两个2，……”。某些非洲矮人是这么称呼最前面的6个自然数的，“a，oa，ua，oa-oa，oa-oa-a，oa-oa-oa。”这两种计数均为2进制，它的运用后来导致了电子盘算机的创造资源网。而阿根廷火地岛的一个部落和南美的其他一些部落则分离以数字3和4为基。

不难假想，由于人类的每只手和脚均有5个手指或脚趾，5进制一度得到了普遍的运用。至今某些南美部落仍用手计数，“1，2，3，4，手，手和1，等等”。直到1880年，德国的农历仍以5为数基。1937年，在捷克摩拉维亚地域出土的一块幼狼胫骨上，几十道刻痕显著是以5进制排列的。而西伯利亚的尤卡吉尔人居住在世界上最寒冷的处所（勒拿河下游），至今仍采取一种相似于5-10混杂进制的方法计数。

12也常被用来作数基，这可能与它被6个数整除有关，也可能是因为一年有12个溯望月。例如，1英尺有12英寸，1英寸有12英分，1先令是12便士，1英镑是12盎司（金衡制，常衡制是16盎司）。有意思的是，直到上个世纪70年代，中国乡村的秤还刻有两种进制，包含16进制。与此同时，没有12进制的中国人的文字里也有“打”这个概念。而英语里除了dozen（打）以外，甚至还有gross（箩），一箩是12打，一打是12个。

20进制也曾被普遍应用，它使我们想起人类的赤脚时期，一双脚和一双手共有20个指头。美洲印第安人应用过它，包含高度发达的玛雅文明。在法语里，至今仍用4个20来表现80（quatre-vingts），4个20加10来表现90（quatre-vingt-dix）。丹麦人、威尔士人和盖尔人的语言中也能发明这种痕迹，令人惊奇的是，这些处所并非都是温带。在英语里20（score）是个常用字，而汉语里也有“廿”这个字。至于古代巴比伦人应用的60进制，即使在今天仍在时光和角度计量单位中不可或缺。

可是，人类最终仍广泛接收了10进制。在有记录的历史中，包含古埃及的象形数字、中国的甲骨文数字和筹算数码、希腊的阿提卡数字、印度的婆罗门数字，等等，都采取了10进制。在我们的脑筋里，10已成为数制的必定单位，正如2已被电脑特殊拥有。原因十分简略，博学的希腊哲学家亚里士多德已经为我们指出，“10进制的普遍采用，只不过是由于我们绝大多数人生来具有10个手指这样一个解剖学的事实成果。”

除了口说以外，用手指表达数也曾长期被采用。英语里的digit本来是指手指或脚趾，后来才表现从1到9这些数字，如今我们正处于数字时期（digital age）。事实上，原始人甚或开化的人，在进行口头计数时往往同时做出一些手势。例如，当说到“十”字，往往用一只手拍另一只手的手心。而某些部落或民族，我们可以通过视察他们计数时的手语来断定其归属。在今天的中国，我们仍然可以通过一个人划拳的手势大致弄清晰他或她毕竟来自哪个地域或省份。

3、阿拉伯数系

据考古学发明，刻痕记数大约涌现在三万年以前，经过极其迟缓的发展，大约在公元前三千多年，终于涌现了书写记数和相应的数系。可能是受手指表达数的影响，最早的表现数1，2，3和4的书写符号大多是相应数量的竖或横的堆积。前者有古埃及的象形文字、希腊的阿提卡数字和中国的纵式筹码数字和玛雅数字，后者有中国的甲骨文数字和横式筹码数字以及印度的婆罗门数字（数4例外）。

有意思的是，以上提到的受手指影响用竖或横来表达前4个数的数系均不约而同的采取了10进制，而另外两种有名的数系，即巴比伦的楔形数字和玛雅数字，分离用一个个锋利的小等腰三角形和小圆点来表现，却采取了60进制和20进制。在数5和5以后，即使同属竖写的数系也有不同表达法，以10为例，古埃及人用轭或锺骨∩（聚集论中的“并”），古希腊人用△（第4个希腊字母），而中国人则用4个竖上面加1横。

所谓阿拉伯数系是指由0，1，2，3，……，9这10个记号及其组合表达出来的10进制数字系统。例如，在911这个数中，右边的1表现1个，中间的1却表现1乘以10，而9表现9乘以100。在今天世界上存在的数以千计的语言体系里，这10个阿拉伯数字是惟一通用的符号（比拉丁字母应用规模更广）。可以想象，假如没有阿拉伯数系，全球规模内的科技、文化、政治、经济、军事和体育方面的交换将变得十分艰苦，甚至不可能进行。

阿拉伯数系也被称为印度-阿拉伯数系，这是因为它是印度人创造的，经由阿拉伯人改革后传递到西方。后一项文明的流通是在12世纪完成的，前一项创造的来源就不得而知了，只是由于近代考古学的进展，在印度的一批石柱和窑洞的墙壁上发明这些数字的痕迹，其年代大约在公元前250年到公元200年之间。值得一提的是，那些痕迹里并没有零号，而在公元825年前后，阿拉伯人花拉子密的著作《印度的盘算术》里却描写了已经完备的印度数码，今日英文和德文里的零就是根据阿拉伯文音译的。

阿拉伯数字是随着阿拉伯人鼎盛时代的远征传入北非和西班牙的，据说一位叫莱奥拉多的意大利人曾受教于西班牙的穆斯林数学家，还曾游历北非。他回到意大利以后，于1202年出版了一部数学著作，这是阿拉伯数字传入穆斯林以外的欧洲的里程碑，对稍后的意大利文艺复兴时代的数学有必定的增进作用。有意思的是，也是在13世纪，威尼斯人马可波罗实现了欧洲人对东方的首次拜访。其时横跨欧亚大陆的君士坦丁堡是个战乱纷争之地，这位旅内行也是经由北非和中东绕过地中海，不过是沿着与阿拉伯数字流传路线相反的方向。

4、形而几何学

数系的涌现使得数的书写和数与数之间的运算成为可能，在此基本上加、减、乘、除乃至于初等算术便在几个古老的文明地域发展起来，而后来数系的统一则使世界数学的研讨和运用插上了翅膀。与数的概念形成一样，人类最初的几何知识也是他们从对形的直觉中萌发出来的，例如，不同种族的人都注意到了圆月和挺立的松树在形象上的差别。可以想见，几何学便是树立在对这类从自然界提取出来的“形”的总结的基本之上。

一条直线只是一段拉紧了的绳子，来自希腊文的英文Hypotenuse（斜边、弦）的原意就是“拉紧”。我们可以假想，这是将一个直角的两臂拉紧后的联线，而arms（手臂）也就成了两条直角边。如此看来，三角形的概念是人们通过对自己身材的视察得到的。偶合的是，在古代中国也是这样，勾、股作为小腿和大腿同时也是直角三角形中较短或较长的直角边，因而我们才有勾股定理的称谓。在西安半坡出土的陶器残片上，我们可以看到完全的全等三角形图案，每条边由间隔相等的8个小孔衔接而成。同样，圆、正方形、长方形等一系列几何情势的概念也来自于人们的视察和实践。

正如古罗马历史学家希罗多德所指出的，埃及的几何学是“尼罗河的馈赠”。早在公元前14世纪或更早，埃及的一个国王将土地分封给所有的公民，每个人都得到一块同样面积大小的土地，然后据此纳税。如果一年一度的尼罗河洪水冲毁了某个人的土地，那么它就必需向法老报告所受的丧失。法老会派专人来测量所失去的土地，再按相应的比例减税。这样一来，几何学（ge资源网omerty）就发生并发展起来了，geo意指土地，metron是测量。这类专门负责测量事物的人有专门的名称，叫做“司绳”（rope-stretcher）。

巴比伦人的几何学也是源于实际的测量，它的主要特点是其算术性质，至少在公元前1600年，他们就已熟习长方形、直角三角形和等腰三角形和某些梯形的面积盘算。古印度几何学的来源则与宗教和建筑实践亲密相干，公元前8世纪至5世纪形成的所谓绳法经，便是关于祭坛与寺庙建造中的几何问题及其求解。在古代中国，几何学的来源更多地与天文观测相接洽，至晚在公元前2世纪成书的《周髀算经》讨论的正是天文测量中所用的几何办法。

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