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量子力学中可精确求解的问题

已有 6443 次阅读 2011-5-11 12:00 |个人分类:学术科研|系统分类:科研笔记

我们常常听说量子力学之中可以精确求解的问题少之又少,甚至有在举例时称“一维无限深势阱问题是量子力学中唯一可以精确求解的问题”。这样的陈述对于本身学过量子力学并求解过几个模型的人来讲,会付之一笑;但对许多初学者,难免会产生误导。说实在的,量子力学中有多少值得或不值得大家研究的问题,这其中有多少算得上精确可解,我说不清楚。原因很简单:量子力学中有多少问题?多得说不清!在这些问题之中具体又有几个可以被精确求解,我也不知道。所以我也只能说说我所知道的。即使如此,这些问题的个数也是相当的多,而不是少之又少。

如何去定义精确(或严格)可解模型,不同领域的人会有稍稍不一样的看法。但我想纠结在这一点上意义不大。为清楚起见,我把问题分为四类:1)原则上严格的可以求得系统所有的能级以及对应的波函数;2)原则上严格的可以求得系统所有的能级和少数波函数,如基态;3)只能求得系统的基态能量和波函数,或两者其一;4)类可精确求解问题。

也许你会不同意我的说话,但我知道,在一些领域之中(不是一个人,是一个很大的领域),第三类问题同样也被叫做有严格解。为什么还有叫“类可精确求解的问题”?因为我也知道,在做精确解领域的人常常有学术上的洁癖(我没有),这种洁癖会导致用一个简单的判据直接否定模型的可解性。但另外,学术研究中确实存在这样一些模型,它们的解,在一定条件下(如大数极限)跟所谓精确解几乎一样,几乎一样到什么程度?有洁癖的人会问。我告诉他,可以到计算机32位浮点数分不出差别的程度。尽管如此,我也得承认,它只是一种近似解。

我这种分法也只是一种草草的分类,在每一类之中,你又可以把单体,两体,多体问题分开来谈。下面我仅仅举一些例子,并不打算给出具体解法。

1)原则上严格的可以求得系统所有的能级以及对应的波函数
这类问题其实很多,单体问题包括但不局限于:
一维(或多维)无限深势阱中的单粒子问题;
一维(或多维)谐振子势中的粒子问题;
氢原子问题;
按:一维单粒子问题还有许多可解的,有兴趣的可以到朗道的《非相对论量子力学》书上查看章末所附的习题,有许多奇里八怪的势阱中的单粒子,居然可被严格解得(主要是束缚态),天哪!

一维横场Ising模型(粒子数可以任意甚至无穷大);
一维横场XY模型(粒子数可以任意甚至无穷大);

2)原则上严格的可以求得系统所有的能级和少数波函数,如基态。
这类问题也相当的多,包括所有可以用Bethe-ansatz方法可能求解的一维或其它问题(粒子数可以任意甚至无穷大)。多得说不清,有兴趣的可以参考:
Beautiful models, by B. Sutherland, http://www.worldscibooks.com/physics/5552.html

Bethe-ansatz求解模型曾经是一个很大的研究领域,现在有点偏向数学物理了。大家大多知道李杨的宇称不守恒,但也许不知道杨先生的很多工作属于严格可解模型这个领域,比如他的杨-巴克斯特方程。大家也许知道Hans Bethe因为恒星方面的工作获得了诺贝尔物理学奖,但可能不太知道Bethe最出名的工作是他在1930s 提出的这个ansatz.

按:其实很多Bethe-ansatz可解的问题也可归到第一类中去。Bethe-ansatz原则上也给出了形式上的波函数,只是相当难以讨论实际的问题。为什么?唯度太大了啊!

3)只能求得系统的基态能量和波函数,或两者其一
这类问题其实也不少,包括并不限于:最近研究比较热门的Kitaev honeycomb 模型,Majumdar-Ghosh 模型,AKLT(Affleck , Kennedy , Lieb , Tasaki)模型等等。


4)类可精确求解问题
Lipkin-Meshkov-Glick model
这个模型在特殊情况下也可精确求解,比如在各向同性点,用简单的角动量偶合方法就可以求解。在各向异性的一般情况下,可以用HP变换求解,相当于1/N的近似;也说是说,对一万个自旋的系统,你得到的精度比方说是四位有效数字;那对一亿个自旋的系统,你可以精确到八位有效数字。嘿嘿。

这里我仅仅举了几个例子,嘿嘿嘿。欢迎大家拍砖,有时间我再具体补充;也欢迎您来补充,我来点评。


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