每个具体的数学门类（如向量、张量、微分几何、外代数……）都是一种约定下的演绎逻辑（Poincare的约定论），所以每一种数学门类都有局限性。但是，正因为门类之间都有“表示论（representation）”这样的横向联系（所谓“表示论无处不在”），所以纵向上无数个数学门类加上横向上无数个表示论这个整体就克服了每一种数学问类的局限性。于是，20世纪对Poincare的“数学约定论”的批判是不成立的。

2002年，美国物理学会把物理教学的Oersted奖奖给Arizona大学物理系的D. Hestenes教授，认为他开发的几何代数（Geometric Algebra）是目前看来物理学最好的数学语言。

几何代数（GA）是继张量、微分几何、外代数……之后的一个重大发展。起码，GA把分量形式的张量语言中的“赘肉”割掉了，继承了整体形式张量语言物理意义清晰的优点。GA又包含了外代数，引入了外积，把原来向量分析中叉积无法用于三维以上高维空间的缺点消除了。

我最初企图演绎证明所有从文献中收集的向量分析和张量的公式，失败后看到Poincare约定论的真实含义，发现GA，也明白了为什么讲场论数学的书讲到一定程度就讲不下去（那就是遇到向量分析这个数学门类的局限性的必然结果）。现在我看：凡是涉及物理学、力学较多的理科、工科（包括我所属的理论化学和物理化学）都应该学习几何代数（GA）。

杨振宁先生在2018年初一次谈话中说“不能把数学看成物理学的工具”。这个观点我看非常重要，理由是：尽管现有任何学科的理论都不同程度地也必然地依赖于实验，但是可以通过其中物理量内禀的数学性质，深入发掘其中物理量之间的数学关系，使现有理论尽可能地降低对实验的依赖程度。这就是Dirac、杨振宁早就强调的理论的“数学美”。这样的“数学美”毫不抽象，毫不违背物理学家朴素的唯物主义观点。只不过，我们过去老是把“数学看成物理学的工具”，忽视物理量内禀的数学性质及其相互的数学联系，没有看到这样的数学联系本质上也是物理联系，把数学排斥在“背靠大自然”这一物理学原则之外，更没有把降低现有理论对实验的依赖程度看成是件重要的科学任务。数学美不是简单的美，而是理论达到逻辑上更加简约的程度。这就是我们经常听到理论elegant这个词的重大科学意义。1908年，Caratheodory对热力学第二定律的深化就是一例。

文献：

[1] Hestenes_D.= Reforming the math language of physics [Oersted Medal Lec, 2002].

[2] Hestenes D., New Foundations for Classical Mechanics, 2ed. Kluwer(1999).科学出版社有英文影印版出版。

[3] Hestenes D., Sobczyk G., Clifford Algebra to Geometric Calculus: a unified language for math & phys, D.Reidel(1984).

[4] Doran C., Lasenby A., Geometric Algebra for Physicists, Cambridge Univ Press(2003)

[5] Snygg J., A New Approach to Differential Geometry using Clifford's Geometric Algebra, Birkhauser(2012)

[6] Perwass C., Geometric Algebra with Applications in Engineering, Springer(2009)