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专业科普|
古典微分几何速记
热度 1 苗兵 2020-6-27 18:09
高斯以前,研究曲线和曲面的方法是将其嵌入高维欧氏空间中,用欧氏空间里的微积分进行研究，称为古典微分几何，代表人物是欧拉(Euler)，蒙日(Monge)等。高斯提问，是否可以只通过研究曲面的内蕴性质而研究其几何？这一提问开启了现代微分几何，并通过黎曼的工作，产生了基于黎曼流形的现代微分几何。而 ...
个人分类: 专业科普|6279 次阅读|5 个评论 热度 1
复参数高斯积分
苗兵 2020-6-6 17:36
本文将高斯积分推广至复参数，即考虑高斯函数之方差为复数的情形。 附件： 复参数高斯积分.pdf
个人分类: 专业科普|8515 次阅读|没有评论
由傅里叶变换算高斯积分
苗兵 2020-6-3 10:05
高斯积分几乎是理论物理中最重要的积分。高斯积分有多种算法，最常见的是先将其平方，然后利用被积函数在二维平面内的旋转对称性，选取极坐标计算得到。本文则介绍如何利用函数傅里叶变换的性质而算出高斯积分。 附件： 由傅里叶变换算高斯积分.pdf
个人分类: 专业科普|7906 次阅读|没有评论
狄拉克博士的怪函数
热度 1 苗兵 2020-5-3 17:55
保罗.狄拉克(Paul Dirac)博士曾任英国剑桥大学的卢卡斯数学讲席教授(Lucasian Chair of Mathematics )，是著名的理论物理学家，量子力学的奠基人之一，并且开启了量子电动力学的研究。狄拉克成就的巅峰是提出了描述费米子的相对论量子力学方程-狄拉克方程(Dirac Equation), 并纯粹由数学方程预言了反电子的存在， ...
个人分类: 专业科普|14517 次阅读|1 个评论 热度 1
高维球面面积怎么算
热度 2 苗兵 2020-2-29 13:39
在量子场论和统计场论中，散射振幅的计算需要考虑大量费曼图(Feynman Diagram)所对应的4维积分。其中涉及到的一个重要计算是4维球面面积。 我们早就知道,2维球面面积(圆周长)是2πR,3维球面面积是4πR 2 ,那么4维，5维，以及更高维呢？本文介绍一种计算一般维球面面积的技巧，我们将 ...
个人分类: 专业科普|7310 次阅读|3 个评论 热度 2
黎曼猜想: zeta 函数
热度 3 苗兵 2020-2-8 14:37
1. 多年以前，观看电影《美丽心灵》，其中有一个片段印象很深。那是年迈的约翰.纳什(J.Nash)在普林斯顿大学图书馆里工作，一位青年认出他来，并发现他正在研究一个称为黎曼猜想 (Riemann Hypothesis)的数学问题。青年问：“您刚刚解决了黎曼猜想吗？”纳什回答：“证明只在特定情形下成立，所以，没有，不过我相信我 ...
个人分类: 专业科普|21079 次阅读|4 个评论 热度 3
对偶
苗兵 2020-2-2 17:54
对偶 (Duality) 是统计物理，场论，乃至弦论里极为重要和深刻的观念。通过对偶操作，将模型之强弱相互作用相联系是一种重要的理论手段。本文通过一个求和问题对这一观念进行简单演示，期望可以透露出一点对偶观念的奇妙味道。 考虑如下模型： (1) 其中，K ...
个人分类: 专业科普|4412 次阅读|没有评论
从阶乘说开去
苗兵 2020-1-30 00:01
1. 排列组合问题在中学时已为人熟知，箱中放球时，我们遇到了阶乘函数(Factorial)。 (1) 这里，放球问题要求n是正整数：n=1,2,3,...由(1)易得递推关系：(n+1)!=(n+1)n!. 好奇而善思的中学生会问：若跳出箱中放球的物理情景，可否问0的阶乘为何？进而，负整数 ...
个人分类: 专业科普|5647 次阅读|没有评论
绝妙的证明
热度 6 苗兵 2020-1-12 22:53
1. 欧拉(Leonhard Euler)是历史上最伟大的数学家之一。欧拉的数学著作有70卷之多，是历史上最高产的数学家。 当我们读数学和物理时，会在不同的情景下遇到欧拉。例如，复变函数论中的欧拉公式堪称最美丽的数学公式，欧拉-拉格朗日方程是变分法和现代理论物理学的基石，拓扑学中的欧拉示性 ...
个人分类: 专业科普|8397 次阅读|6 个评论 热度 6
柯西定理
苗兵 2020-1-11 12:35
柯西定理(Cauchy's Theorem)是复变函数论里极为重要的定理，其联系的柯西积分(Cauchy's Integral)应用于复平面单连通和复连通区域分别导致复变函数在某点附近的泰勒展开(Taylor Expansion)和洛朗展开(Laurent Expansion)。 柯西定理说：解析函数在复平面解析区域里的积分是路 ...
个人分类: 专业科普|17484 次阅读|没有评论
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