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有一个电影,里面提到了这样一个数学问题:
3和4之间存在一个整数吗?
最终,电影里面对这个数学问题的解释我就不介绍了。
这篇博文主要是从数学的角度对这个问题进行剖析。
答案是:存在,在一定的条件下。
这个答案是勾起读者兴趣的。但是,答案是正确的,纯数学的,纯近世代数的。
纯数学的解释是这样的。。。。。。。。
首先,我们要定义什么是整数。
通常的定义是:定义0,定义后继函数和前驱函数,封闭。
所谓封闭,就是利用数学归纳法,让所有产生的元素都加入到一个集合中,这样得到的集合就是整数。
也就是说,将整数仅仅定义在加法上,减法则作为加法的逆运算。
在这样的定义下,有封闭性可知,不存在一个“整”数,在3和4之间。
但是,近世代数不是这么定义!
上面的定义强调了整数的整的定义,但是,没有“非整”的定义。这样的定义是存在缺憾的。 整数不仅是整的,还得是非非整的。非整是存在的。
我们都知道,在有理数下,非整的数叫做分数。是对整数做除法得到的。
也就是说,3和4之间是存在非“整数”的,例如,10/3,即3又3分之一。由于非整数是由除法得到的,那么,整数可以定义为:整数是由整数的加法、减法和乘法得到的,但是,有些整数对于除法是不封闭的。不封闭的除法得到的是“分数”,也就是“非整数”。
那么,我们可以把整数定义为,仅由加法、减法和乘法得到的数,原问题就变成了:在3和4之间,存在仅有加法、减法和乘法得到的数吗?
存在的。
我们把数的维度上升一下就可以了。我们引入复数。我们引入一个复数域的子域,a+b√2,这个域的构成法则里面没有使用传统意义的除法。并表示为(a,b)。二维向量也是aleph_0的的无穷,整数也是aleph_0的
的无穷,两者之间存在一一映射。这样问题就转化为,在复平面上,存在一个a,b均为整数的“整数”,它的实数轴上的投影在3和4之间吗?
当然存在的,3+1*√2就是。 因为3^2=9 < 9+1=10 < 4^2=16,因此, 3+√2就是我们要找的数。它的每个分量都是整数,且整体可以一一映射到一个整数。
总结一下,3和4之间存在一个整数这个问题的答案:
1)当整数的定义仅仅为加法和减法产生的时候,不存在。
2)当整数的定义为非分数且仅限定在有理数域的时候,不存在。
3)当整数的定义为不得使用除法的时候,存在。
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GMT+8, 2023-9-27 02:40
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