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0.999……为什么等于1

已有 2414 次阅读 2021-4-7 20:46 |个人分类:数学故事|系统分类:科普集锦


学过循环小数之后,很多时候人们都会有一个疑问:看似比1小一点的0.999……为什么等于1?虽然对于0.999……=1这个结论,人们能看到多种版本的论证,但在直觉上似乎难以接受。那么,为什么会产生这样一种现象?对于直觉上难以接受0.999……=1的人,我们只能责怪他们对于这个事实理解不够深刻吗?

本文将简要介绍我针对该问题的一些思考结果,以供商榷,我的主要观点是:

 

循环小数并非是数字的一个严格表现形式,专业的数学书籍从来都不会出现循环小数这个概念。一些数学课本中不得不引入循环小数,是为了解决分数与小数一一对应的问题,只是一个权益之计,而这个权益之计的副作用就是产生0.999……=1这种与直觉不符的结果。

 

有理数:

 

有理数是指能写作p/q的数字,这里的p,q均为整数。如果再要求p, q互素,那么,有理数就有唯一的p/q表现形式。利用这种表现形式,人们可对有理数比较大小,做各种运算。但实际应用中,因为小数比较大小更直观,所以,人们也采用小数作为有理数的另一种表现形式。小数很容易写成p/q的形式,所以,也很自然的溶于有理数的体系中。但是,当人们试图把所有有理数用小数表达的时候,问题就出现了。例如,1/2很容易写成0.5,但1/3却不能用有限小数表达,于是,人们不得不引入循环小数的概念,而且有些课本会告诉我们循环小数是一个有理数。

 

 

循环小数

 

如前所述,因为循环小数并非是一个数字的严格表现形式。所以,我们之前针对小数所制定的规则, 例如:比较大小、运算等,都不能直接扩展到循环小数上。想一想你是否知道如何计算0.333……+0.888……?


其实,从今天的观点来看,循环小数可以看作是一个序列,或者是一个无穷求和,例如:

0.999……=0.9+0.09+0.009+……

上述求和是一个无穷等比数列求和,根据微积分中的收敛概念,可知上述求和收敛到1. 同样的,如果我们想说清楚一般的循环小数是有理数,也需要用到微积分中epsilon-delta语言,而这个语言一直到维尔斯特拉斯时代才出现,而我们的小学课本,就已经告诉我们这个结论了。

 

写到这里,我不禁想到一个问题:

什么样的有理数p/q只能用循环小数去表示?

有兴趣的读者可以思考一下。

 

 

顺便说一下:如前所述,循环小数是一个只在数学课本,却不会在专业数学书籍中出现的概念。而另一个只在数学课本,却不在(或极少在)专业数学书籍中出现的概念是黎曼积分。而这将是另外一个需要专门探讨的问题。

 




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