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质疑哥德尔不完全性定理的奇文及奇事

程京德

在科学网上检索“哥德尔定理”，发现了如下质疑哥德尔不完全性定理的奇文：

(1) “惊人消息：哥德尔(KurtGodel)不完全性定理的证明是无效的？！”（http://blog.sciencenet.cn/blog-212210-589855.html）

(2) “科学前沿：对哥德尔不完全性定理的质疑”（http://blog.sciencenet.cn/blog-212210-794716.html）

博文（1）中多少有些实际意义的文字如下 ：“但作为一个基础命题，却要通过一种细节艰深且极富技巧性的论证才能得出，这本身就是可疑的。尤其是，在一个系统内，一个不是公理的真命题，但却不可证，即不能给出一个其必然为真的理由，这在逻辑上是难以说通的。哥德尔认为，不完全性定理与说谎者悖论密切相关。后者并不涉及艰深和具有高度技巧性的论证过程，但历经20多个世纪，其推理过程到底存在什么谬误，却难以给出一个令人信服的理由。因此，有理由假设，两个疑难的根源，均与某个一般性的原则有关；并且借助于该原则，上述疑难能够获得消解。事实上，我们将会看到，情况确实如此。这个原则强调，概念的发生是有逻辑次序的，而不是先验地一揽子地同时并存（例如，“非自谓的（impredicable）”这个形容词与普通形容词就并非是同时并存的，将它们视为同时并存，就会提出不合理的问题，从而导致悖论的发生）。杨六省（Email:yangls728@163.com）利用逻辑先后律研究发现，哥德尔的证明是无效的。”  博文（1）并且附上了“杨六省：哥德尔不完全性定理的论证是无效的”一文的PDF文件，但是并未说明该文是否是正式发表的（该文PDF文件也未显示）。

博文（2）除了附上发表于《前沿科学（季刊）》 杂志第8卷（2014年）【建议与商榷】栏目的“杨六省：对哥德尔不完全性定理的质疑”一文（以下略称为杨文）的PDF文件之外，几乎没有什么有实际意义的文字。一件有意思的事情是，杨文中包含有推荐人北京师范大学王世强教授的推荐语：“杨六省先生的论文《对哥德尔不完全性定理的质疑》内容正确，论证正确，说理清楚，建议贵刊发表。”

与上述奇文相关的奇事是，对于这些问世已经数年的奇文，在科学网上却检索不到任何评论性博文（两篇博文下面也几乎没有实质性讨论），甚至用百度在国内所有网上也检索不到任何评论文章。何故？笔者的猜测就不在这里多说了。

对于由数学教授推荐在《前沿科学》杂志上正式发表的杨文，笔者浏览后的初步感觉是（依照杨文内容顺序）：

（1）作者并未研读过哥德尔本人的论文，当然也就不了解哥德尔的原始证明。杨文也没有将哥德尔1931年论文列为参考文献。质疑某篇学术论文却不去研读该论文自身的内容，这在学术界绝对不是可以普遍认可的学术行为。

（2）作者先声称，“通过对 S.C.Kleene 版本的形式化证明的分析，发现证明中存在歧义谬误，因此，S.C.Kleene 版本的形式化证明是无效的”，然后借王浩的话“时至今日，好像还没人用与Godel 原证法本质上不同的更为简洁的方法证明过 Godel 定理”以及似乎是作者本人的主张“迄今，所有版本的 Godel 定理的形式化证明都具有如下相同的论证过程”就随便推出“对 S.C.Kleene 证明版本的分析方法和结论适合于任何与 Godel 原证法本质上相同的证明。因此，与 Godel 原证法本质上相同的形式化证明，均是无效的”这一结论。且不论各个主张自身正确与否，这里的推论过程就缺乏最基本的逻辑性。

（3）作者声称，“人们在对哥德尔证明的解释中，其错误是，真与不可证并非意指同一对象，否则，不可能证明存在一个命题G，它既是真的又不可证。基于形式化证明与非形式的解释在本质上是相通的，故 Godel 不完全性定理不可能成立。”  从这段话可以看出，作者根本没有经过数理逻辑专业训练，根本不懂数理逻辑的证明论和模型论，根本区分不开“逻辑真（或逻辑假）”与“可证（或者不可证）”在本质上的不同，根本不清楚哥德尔的工作的出发点和目的。

（4）作者引用的 Atkinson 关于推理的定义是不规范的，无论是从哲学观点上还是从逻辑学观点来看都是有问题的。而作者根据这一定义肆意推出“针对一个所谓的“自指语句”要展开推理，这个“自指语句”就必须分裂为两个不同的语句”更是荒谬的。

（5）作者声称，“总之，关于 Godel 不完全性定理，不管给出的是怎样的证明表述，其共同点是，均犯有一词多义谬误，这正是 Godel 证明的无效性的根源。”  这段话表明，没有经过专业数理逻辑训练的作者完全不懂什么是形式系统，什么是形式符号之表达，什么是元语言，什么是对象语言，什么是形式证明，什么是元定理。

笔者完全看不出杨文是“内容正确，论证正确，说理清楚”的。如果笔者上述感觉有误，笔者愿意接受合理的质疑并作答。对于比上述感觉更深入更专业化的评论，笔者不想再多浪费时间了。