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对线性代数教育的一点反思 精选

已有 5217 次阅读 2022-7-17 05:10 |个人分类:数学|系统分类:教学心得

there is hardly any theory which is more elementary than linear algebra in spite of the fact that generations of professors and textbook writers have obscured its simplicity by preposterous calculations with matrices.
- Jean Dieudonné
很难再有比线性代数更基础的理论了,而历代的数学教师和教科书作者却一直在用令人费解的矩阵计算把这种简单性掩盖了。
--让 迪厄多内[1]

一段时间以来,一直在「重新」(unlearn & relearn) 学习线性代数,越学越觉得教科书有问题、现存的教学法有问题,但没有能力说清楚问题到底出在哪里。直到看到这段话才知道,早就有人认识到这个问题了。这位数学家的意思是:线性代数很简单,只是有人把它「弄」复杂了。

而我通过自己的unlearn & relearn过程,更加深刻认识到「很难再有比线性代数更基础的理论了」这句话的真正含义——线性代数的本质其实是我们对「数」和「量」这两个概念的再认识。与之相对,对于为什么一代又一代的中外数学教师和教科书仍然在用各种令人如坠五里雾中的方式把这种简单性掩盖,我仍然感到迷惘和困惑。

感觉现代的数学教育,很多方面舍弃了数学最基础的东西而在追求末端的所谓「技巧」。回到数学的「初心」,「数」(number) 与「量」(quantity) 应当是首先要明确定义的概念,这是学习包括线性代数在内一切数学的基础。目前正在思考中,有些非常不成熟的想法。

  1. 「数」和「量」(读作liàng)在我们的日常生活中经常不分彼此,互相通用,例如我在《数学的元语言——集合》中,把从群体概念获得的群体规模概念,而对群体规模的语言表示是「数量」。不过,如果是做严肃的科学研究、严格区分概念的话,「数」和「量」显然不是一个概念。我们先看一下字典是如何定义「量」的。新华字典的定义是:数的多少;百度百科的解释是:哲学范畴。指事物存在和发展的规模、程度、速度等,即可以用数量表示的规定性;二者有一个共同点就是:「量」是由「数」表示的,「数」是表,「量」是里;从百度百科的解释可进一步得到:「量」是概念,而「数」是「量」的的语言表示。例如,通过测量得到一个长度,张三用2表示这个长度,而李四则用3.2表示,而王五得到的长度是9600。为什么会这样?因为张三用英里做度量衡,李四用公里,而王五用市尺做度量衡,因此,虽然获得的是同一长度的「量」,但是我们可以用不同的「数」表示。

  2. 同样是「量」的概念,但是我们获得的方式却极为不同。例如,可以通过清点、计数的方法,得到的是集合的基数(自然数);可以通过物体运动产生的位移得到;通过测量得到;通过算术式、代数式、解方程的方式得到。用不同的方法获得的「量」其实有很大不同。例如,用数人头的方法我们可以得到最确定的「量」。而物体连续运动所产生的位移,其实际的「量」,按照微积分的概念,可以是和一个真实的「量」有「无穷小」之差的「量的叠加」。测量得到的「量」其实是不确定的,因为在任意给定的精度之下,有可能每次测量的「量」都不同。而通过代数运算得到的「量」,有些和运动位移产生的的「量」一样,无法确定,特别是实数,因为我们无法获得任何实数的精确值。有人说不同意这种说法,例如,认为2.0就是精确的实数,其实这是错觉,如果你是程序员,或者懂得一些计算机原理,知道浮点数(实数)的产生和表达机制,就会知道,要「物理地」构建实数,是不可能得到其精确值的。如果对「量」这个概念定义给出一个约束的话,首先,这个「概念」所确定的对象必须是「确定的」。例如,按照这个约束,圆周率π就不能算是一个「量」,因为你永远无法知道π的「真正的」值是多少。3.14、3.142、3.14159、3.14159、3.141593、3.1415926、...,这一串永远可以写下去的数字哪个才是真正的π的「量」?其实都不是!!它们只是在不同程度上代表了 π,而不是 π 本身。π 并非是一个确定的「量」,而是一个如同夸父逐日那样的不断持续、永无尽头的追求过程。 但是,这些如同悖论式的论断不会影响我们的生活,因为我们可以用「数」表达这些看上去很难用「量」定义的概念。数学家庞加莱说过:Mathematics is the art of giving the same name to different things(数学是将同一名称赋予不同事物的艺术)。在现实生活中我们是在用 π 这个符号表示一个无穷数列中的任意子数列。

  3. 而「数」作为符号,与「量」并没有一对一的对应关系。换句话说,「数」未必是用来表达「量」的。例如,身份证号码,电话号码、IP地址,数据库每条记录的UID等,都是「数」不代表「量」的例子。在这些例子中,没有「量」的概念,「数」的作用是表示「差异」——discriminate。还有一种不表示「量」的「数」,一般称作「码」(code)。被称作「码」的数,一般都会在给定语境中被赋予相应的语义解释,例如65,在ASCII中,被解释为拉丁字母‘A’,「码」和「解释」之间的对应关系,通常被称作编码 <==> 解码。德语中表达具有「量」的「数」和不具有「量」的「数」是分开的,前者称作 Zahl,后者是Nummer,因此,Zahl是数学对象,而Nummer不是。

  4. 现代汉语中,我们通常用「数字」代表「量」的文字表示,狭义的「数字」应当是指由“1,2,3,4,5,6,7,8,9,0”构成的字符串。在计算机程序设计语言中,通常用“1234567890”表示「数字」,而用1234567890表示数字所代表的「量」。 与之相对,我们通常用「号码」表达没有「量」的「数字」,「号码」可以是有序或无序的,例如排队发号的号码是有序的,书页的号码是有序的,但是电话号码、IP地址、身份证号码是无序的。通常,具有一定句法结构的复杂号码是无序的,而简单的没有内部结构的数字是有序的。但是这并非绝对,有些具有句法结构的数字串中的某个字段,语言学称作结构成分 (constituent),是可以有序的,例如身份证号码,前6位为地址码,第7至14位为出生日期码,第15至17位为顺序码, 第18位为校验码,取不同字段排序就会得到不同的解释。

爱因斯坦曾经说过:

Most of the fundamental ideas of science are essentially simple, and may, as a rule, be expressed in a language comprehensible to everyone.

科学中的大部分基本思想本质上都是很简单的,而且,作为一种规则,都可以用大众所能理解的语言表达。

[1] 迪厄多内(Jean Alexandre Eugène Dieudonné,1906年7月1日-1992年11月29日)是法国数学家,布尔巴基学派的创始人和代表成员之一,主要从事抽象代数、泛函分析等方面的研究工作。其在推动法国数学教学改革中起了重要作用。



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