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从零开始学习线性代数:维度、基、向量、矩阵和向量空间 精选

已有 3289 次阅读 2022-7-12 13:55 |个人分类:数学|系统分类:教学心得

上篇笔记是开篇,重点是从整体把握线性代数是一门什么样的学问。所学到的重点如下:

  • 普通加法只允许我们做「同质」加法,被加数与加数所代表的对象具有相同的质,例如三个个西红柿加四个西红柿,而线性代数则允许我们做「不同质」对象的加法,例如三个西红柿加两个鸡蛋。这种加法被称作「线性组合」。

  • 自然数是对各种同质对象的计数,三个西红柿、三支铅笔、三台电脑等,如果抽出其物质属性,只关心其「量」,那么我们可以得到「三」的概念,通常用阿拉伯数字 3 表示;同理,线性组合是对不同质对象组合的计数,也是对「量」的抽象,例如三个西红柿+两个鸡蛋,三只铅笔+两块橡皮,三台电脑+两台打印机,如果抽出其物质属性,只关心其「量」我们得到的是「三与二组合」的概念,用阿拉伯数字表示为为:(3, 2)。

  • 线性组合完全可以当做与自然数、整数和实数类似的「另一种类型」的数,只是这类数是复合型的,是由单一的自然数、整数或实数构成。一个形象比喻就是:自然数、整数或实数都是「单身」,而线性组合则是一个「家庭」,对它们计数要以「家庭」而不能以「个人」为单位。

  • 就像对自然数、整数和实数我们可以进行各种数学运算一样,我们对这个新认识的数学朋友也可以进行类似的运算,同时我们还要学习对线性组合特有的运算:线性转换 —— 把一个线性组合对象从一种形式转换为另一种形式。

本篇笔记想把这些话题引向深入,这样就引入了若干个新名词:【基数】、【向量】、【基】、【矩阵】和【向量空间】。

上面谈到,像「三个西红柿+两个鸡蛋」这类不同质对象的加法是「线性组合」,它的抽象表达式为 $(3, 2)$。这个表达式的名称在我们上篇笔记中被称作「元组」。「元组」其实是集合论的概念,元组的元素是可以形成集合的任何对象,包括文字、图像、数字等。而线性代数只关心由实数或复数构成的「空间」(「空间」的概念我们下面谈到),因此空间中的基本元素都是以实数或复数的元组形式表达,同时这些元素具有一些一般元组不具备的性质和特征,例如代数运算、例如数的方向性,例如线性转换等。因此,线性代数把这种由实数或复数构成的元组称为【向量】、或者【矢量】—— 有方向的量、带箭头的量。

什么是「有方向的量」?我们第一次接触「有方向的量」是在初中 —— 正负数。正负数在数轴上的方向相反,正数沿着数轴向右,方向是 $0°$,负数沿着数轴向左,方向是 $180°$。那么有没有方向是 $0°$ 和 $180°$ 的以外的数呢?数轴上当然没有。后来解方程遇到了负数平方根,产生了虚数的概念,但是这种数却无法在数轴上找到。随着对虚数认识的加深,数学家认识到,正负虚数其实就是方向为 $90°$ 和 $270°$ 的数。与正负实数的 $0°$ 和 $180°$ 相似,正负虚数构成另一条数轴——一条与既有的数轴相垂直的数轴。

有了实数和虚数,人们对数系开始有了更全面的认识,从而建立了将实数和虚数都包括在内的更大数系——复数数系。有了复数,数的方向也就不再仅限于 $0°$、$180°$、$90°$ 和 $270°$ 少数几个特殊方向,而可以是任意方向。与此相对应的,复数的几何表示不再是一条直线而是由实数轴和虚数轴构成的平面。这个平面上的量是用加法:$a + bi$ 定义的。这样,从复数系开始,加法被赋予了新的意义——增加维度,而不再仅仅是同一维度多个量的叠加。这就回到我们本篇笔记最初的问题:有两种完全不同的加法,同质加法和异质加法。后者的实质意义是增加维度。例如复数表达式中的 $a$ 是实数轴上的量,$bi$ 是虚数轴上的量,$a+bi$,表达的是二维的量。不难想象,$a + bi + cj$ 是三维的,比复数又高出一个维度的量,而「四元数」(quarterion) 是四维的量:$a + bi + cj + dk$。这样,一个数后面用加号再加上另一个数,就有可能是在表达量在维度上的增加。加号被用于同一维度的量时所获得的是该维度上的另一个量,而被用于不同维度的量时所获得的,则是量在相异维度上的线性组合。

这样,量的概念就成为大小、方向维度的综合概念,而从这三个概念出发所抽象出的数学对象,就是【向量】。而说到维度,我们日常生活可以辨识的最大维度是三维,所以从几何的意义上我们需要三根数轴分别表达每一个维度,每个数轴代表一个维度。三维空间的量,就需要三个实数来表示在各个维度上的量的大小,放在一起构成一个向量。最常见的二维几何对象是矩形,由长和宽两个维度构成,写成向量形式就是 (长, 宽);类似地,三维几何对象是立方体,由长宽高三个维度组成,写成向量就是 (长, 宽, 高)。

如果维度的概念脱离我们的几何直觉,也就不再受限于三维,可以是任意维度、甚至是无穷维度。例如,一台电脑,是由主板、CPU、内存、总线、电源、硬盘等构成,因此电脑就是一个多维的组合对象,这些的零件的参数就构成关于该电脑的向量。其实,「维度」是我们生活中的最常见状态,我们所认知的大多数对象都是复合对象,因此由多个维度的组合构成的对象是事物存在的普遍形式,反而是以单一元素形式存在的对象在我们周围的世界少之又少。【向量】和数一样,代表了对量的抽象,只是数代表的是对单一元素对象的量的抽象,是一维的量,而向量则代表了对多元素对象的量的抽象,是多维的量。由此可知,向量比单纯的数更能准确表达对象的量化特征。
 
无论是一维的数,还是多维的向量,如果把这些量作为一个整体而不是像小学算术那样只研究个别的运算,我们就可以抽象出「空间」的概念。「空间」这个词在日常生活中通常与时间相对,表示事物存在的两大基本要素,俗称场所。在初等数学中「空间」往往和几何相关,例如欧几里得空间等。但是,空间还有一层更抽象的意义,它的定义是一个非空集合加上一个运算。例如,所有整数的集合加上加法运算就可定义为一个空间。而线性代数研究的「向量空间」,是一个比整数空间更复杂的空间,其本质是:所有向量的集合加上向量加法和标量乘法两个运算。从纯代数的意义看,「空间」和「结构」是同义词。当然,空间更容易从几何角度理解。

那么为什么「空间」的定义要在集合的基础上再加上运算呢?最主要原因就是,数学意义上的空间和我们日常意义上的空间意义不完全相同,我们日常意义上的空间有可能真是「空」的,而数学意义上的空间,除了极个别的 trivial 情况,大部分都不能为「空」。例如向量空间,首先是向量的集合,这个集合不能为空,空集合只能代表零维空间。第二,要定义这个集合的最基本元素——种子元素。例如,自然数空间的种子元素是 1,偶数空间的种子元素是 2,而整数空间的种子元素是一个集合 $\{1, -1\}$。第三,要定义如何「播种」,如何由种子元素获得这个集合的其它元素。例如,自然数的递归定义是 $S(n) = n + 1$,这里就使用了加法,没有这个加法我们就无法从种子元素得到其它数,所以加法运算就等于是播种机——如何从种子元素得到空间中的其它元素。一般地说,数学中所有的代数结构都是由集合,种子元素和运算构成。而向量空间也有「种子元素」——称作【基】(basis)。向量空间的种子元素比较复杂,这是本篇笔记关注的重点。这里值得重复的是,向量空间中,从种子元素得到其它元素需要两种运算:向量加法和标量乘法,它们分别负责扩展维度和获取本维度的其它量。

由于传统观念的束缚,一维数轴上的实数集合很少被被称作「空间」,更没人把这个一维空间称作向量空间。但是如果深入思考,数轴其实具备了【向量空间】所有要素:实数集合,有大小,有方向( $0°$ 或 $180°$ ),有维度(维度是 $1$ ),在其上可以进行加减乘除运算。
 
那一维向量空间和二维以上的向量空间有没有差异呢?当然有!!正是这些差异使我们更能深刻理解算术运算的一些基本性质。例如:$2 + 5 = 7$,其几何表示就是:代表 $2$ 的线段与代表 $5$ 的线段首尾相连,这个长度和代表 $7$ 的线段相等。但是到了一维以上的空间,这个常识就不一定成立了,$2 + 5$ 所代表的线段长度未必等于 $7$ 代表的线段长度。

【向量】说到底,是对「量」这个概念的扩展和延伸,它把「量」的概念,从大小、方向延伸到维度。维度的增加有两种表示法:一、如上所示,加法表达式;二、向量表示,在一对括号中填充一个数列,数列中数的个数就是维度,这两种表示的统称就是线性组合。而【向量空间】是线性代数的舞台,【向量】是这个舞台上表演的演员,线性代数就是在【向量空间】这个舞台上各种不同【线性组合】的纷彩叠呈的演出。

有了【向量】、【向量空间】的概念,就像以前有了数和数轴概念一样,我们下一个问题就是,我们如何计算向量?换句话说,既然向量是和自然数、整数一样的数学对象,那么我们如何「数」向量?

先看看我们在数轴上是如何数数的吧!!要想数数,有几个前提,第一、数必须是可数的,自然数是可数的,但是实数就不是可数的;第二、要有一个「度量衡」,也就是上面说的「种子元素」,或者说数数的「单位」。第三,要有一个机制、表示法来表示当前数到的数有「多大」,亦即每个数都代表一个唯一大小的「规模」(scale),例如我们通常用十进制的阿拉伯数字表示数的大小。如果设定我们要数的数是自然数,例如 $3$,自然数的种子元素是 $1$,那么从 $1$ 到下一个数,再到下一个数,我们一共数了 $1 + 1 + 1$ 次。这里最关键的是,数数,其实就是反复叠加「种子元素」的过程。自然数每次状态都是1,每次叠加,我们就把当前状态取个名字,例如在数了$1 + 1 + 1$ 次后,我们把当前的状态取名为”3“,这时 $3$ 被称作数数是规模。因此,我们可以把数数这个活动归纳为:以种子元素为单位,乘以规模。为了和线性代数的术语保持一致,从现在起,我们把「种子元素」称作【基数】(basis),那么数数过程的表示就是

数 = 基数 × 规模

例如:

$1 = 1 × ( 1 + 1 + 1)$

其中,基数为 $1$,规模是 $1 + 1 + 1$,用我们日常的语言说就是:我以 $1$ 单位,数了一次,又数了一次,又数了一次。

通常,当数数的基数是 $1$ 的时候,我们往往会忘记这个基数的存在,因为它太普通了,太微不足道了,在我们的语言中往往会出现这样的句子:饭要一口口吃,活要一件件干,其实指的就是我们计数的单位是 $1$。而规模,其实指的就是你数数数到哪了,亦即数的大小。比如,$3$ 个西红柿,就是 西红柿 × $3$,意思是:$1$ 个西红柿+$1$个西红柿+$1$个西红柿,提取公因式:$1$个 × ( 西红柿 + 西红柿 + 西红柿 )。其中的 $1$个是数西红柿的基数,括号里的内容代表了数西红柿的「规模」。

「规模」用一个又线性代数的术语表示就是:【标量】、或者【纯量】,英语是 scalar,意思是表示规模的量。如果我们用 I 代表基数,用 c 代表【标量】那么,任何可数的「数」$n$ 都可以表示为:

$n = I \cdot c$

这就是我们可以在自然数空间「数数」的基本原理。这个原理包含两要素:【基数】,代表数数的单位,【标量】代表数数的规模,或者某个度量衡的体量,而数数的过程,可以用【基数】乘以 【标量】来描述。

在自然数空间,数数的【基数】当然就是1了。如果不用1可不可以?当然可以,作为基数,不但没有必要是1,甚至没有必要是自然数,任何数,包括实数、复数都可以。为什么?因为虽然「基数」看上去是数,但是从计数的角度,它更是计数的单位,就像前面,我们甚至拿「一个西红柿」作为【基数】。因此,如果用大写字母 $I$ 表示【基数】那么数数的本质就是统计有多少个 $I$。用我们上篇笔记的术语,【基数】是「质」,【标量】是「量」。下面我们来看一个【基数】$I$ 非$1$的例子:

$2 × 3 = 2 × ( 1 + 1 + 1 )$

意思是:这个量以 $2$ 为【基数】,一共数了 $1 + 1 + 1$ 次,因此,这个量的【标量】是 $3$。有人问那么 $2 × 3 = 6$ 怎么理解?其意义是,将以 $2$ 为基数的量转换为以 $1$ 为基数的量——以 $2$ 为基数的 $3$ 等于以 $1$ 为基数的 $6$: $2 × 3 = 1 × 6$。这是我们第一次见识了不同【基数】运算的两种结构之间的「映射」。这种「映射」反映的其实就是「线性转换」这个概念的最初始的基本思想。而且,通过这个解释,我们重新认识了乘法:所有乘法运算其实都是把基数为 I 的量转换为基数为 $1$ 的量的运算。

理解了计数原理,我们再来看一下加法运算。正如我们一开始说过,加法运算有两种,第一种是是「同质」运算,第二种是「异质」运算。现在有了【基数】概念后,我们就可以说,第一种是基数相同的运算,第二种是基数不同的运算。

基数相同的运算,例如

$3 + 2 = 1 × 3 + 1 × 2 = 1 × ( 3 + 2 )$

$2 × 3 + 2 × 6 = 2 × ( 3 + 6 )$

西红柿 $× 3 +$ 西红柿 $× 4 =$ 西红柿 $× ( 3 + 4 )$

$2.5a + 2.5\pi = 2.5 \times (a + \pi)$

基数不同的运算,例如

$3\times 5 + 2 \times 4 = (5+5+5)+(2+2+2+2)$

西红柿 × 3 + 鸡蛋 × 2  = ( 西红柿 + 西红柿 + 西红柿) + ( 鸡蛋 + 鸡蛋 )

$3a + 5b = ( a + a + a ) + ( b + b + b + b + b)$

可以看出二者的区别:基数相同的加法最后都可以得到 基数 × 标量和,而基数不同的加法却无法做到。也就是说,在普通的算术加法运算中,我们无法进行基数不同的加法。

这个问题要得到解决,就必须借助线性代数的工具,具体地说就是向量的运算,以及后面要介绍的【矩阵】的概念。

那么向量是如何解决不同基数的加法的问题的呢?首先,其基本原理,就是维度增加所获得的线性组合的概念:不同基数的加法,实际上是不同维度上的量的组合。有了维度的概念,我们看待向量就如同一般自然数、实数,先将其分解为【基数】与【标量】的乘积。如果是数,比如说 $6$,若基数是 $1$,那么它的大小还是 $6$,如果基数是 $2$,那么它的大小是 $3$,如果基数是 $3$,那么它的大小是 $2$,如果基数 $6$,那么它的大小是 $1$。同样,要表示【向量】,我们也要先知道【向量】的【基数】和规模,亦即【向量】的【标量】是什么?由于在多维的向量空间其基本元素向量不再是单纯的数,而是由多个维度的数组成的复合体,向量,用【基数】就不太准确了,因此从这里开始,我们用【基向量】和【基】表示在一维空间中的【基数】的概念。和自然数一样,我们的第一个问题是如何按照【基】和【标量】的概念表达向量。按照我们上面的表达式,任何量都可以表示为 $n = I \cdot c$,所以二维向量的表达式为:

$v = I \cdot (c_1, c_2)$

其中, $v$ 表示向量 (vector),$I$ 表示向量的【基】,而 $(c_1,c_2)$ 则分别表示向量 $v$ 在每个维度的标量,例如在我们的西红柿炒鸡蛋中,西红柿维度的大小是 $3$,鸡蛋维度的大小是 $2$,故 $(3, 2)$ 可以作为西红柿炒鸡蛋维度的大小。因此 $(c_1,c_2)$ 在 形式上是一个向量,但是它的作用是描述 $v$ 在两个维度上的标量大小 —— $c_1$ 是 $v$ 的第一维度的标量,$c_2$ 是 $v$ 的第二维度的标量,因此我们可以把 $(c_1,c_2)$ 看做是向量 $v$ 的大小,亦即【标量】。

得到了公式,知道了公式中每个成分,下一个问题就是,作为向量【基】的 $I$ 是什么?这个问题分两部分:第一部分:在向量空间中,每个维度的【基向量】是什么?第二部分:整个向量空间的【基】是什么?下面分别谈。

第一部分:在向量空间中,每个维度的【基向量】是什么?正如前面所述,一个 $n$ 维向量空间,需要 $n$ 个数轴作为每个维度的度量,所以二维向量空间需要两条数轴。如果孤立地看每条数轴,那么和一维数轴完全相同,每个数轴上都是单独的实数。但是放在向量空间中,则数轴上的每个量都是一个二维向量,但是每个数轴上的向量只有一个维度的量,而表示另一个维度的量为 $0$。如果用 $A$ 表示第一数轴上的量,那么 $A = ( n, 0 )$,其中 $n$ 代表任意实数。按照自然数系的基数概念,我们可以推断,第一维度的【基】应当是 $A_i = ( 1, 0 )$。同理,设第二维度上的任意向量是 $B$,则 $B = ( 0, n )$,那么第二维度的【基】则是 $B_i = ( 0, 1 )$。

这样,我们得到了在二维向量空间每个维度的【基向量】:

$A_i = (1,0), B_i = (0,1)$

第二部分:整个向量空间的【基】是什么?由于二维向量空间由两个维度的线性组合构成,因此其【基】应当是这两个维度的【基向量】的向量:

$I = ( A_i, B_i )$,

将 $A_i$ 和 $B_i$ 展开我们得到

$I = ((1,0),(0,1))$

这是个复合向量 —— 向量的向量,就是整个二维向量空间的【基】。按照上面的公式,我们可以得到向量的一般表达式:

$v = I \cdot (c_1, c_2)$

$I = ( ( 1, 0 ), ( 0, 1 ) )$

$\therefore$

$v = ((1,0),(0,1)) \cdot (c_1, c_2)$

这个公式和表示一般实数的模式相同:

$n = I \cdot c$

$I = 1$

$\therefore$

$n = 1 \cdot c$

唯一不同的细节:实数的基数仍然是实数,而二维向量的【基】则是一个 $2 × 2$ 的复合向量。表示实数大小的【标量】是实数,而表示向量在各个维度大小的「标量」的线性组合。

可以想象的是,这个公式可以推广到 n 维空间:

$v = I · (c1, c2, \cdots, c_n)$

$I = ((1,0,\cdots,0), (0,1,\cdots,0),\cdots,(0,0,\cdots,1))$

$\therefore$

$v = ((1,0,\cdots,0),(0,1,\cdots,0),\cdots(0,0,\cdots,1)) \cdot (c_1, c_2,\cdots,c_n)$

而从复合向量就引出了本篇笔记的最后一个话题 —— 【矩阵】。矩阵,说穿了就是一个复合向量——向量的向量。而我们上面介绍的二维空间的的【基】是一个特殊的矩阵,这个矩阵有一个专有名称:【单位矩阵】(identity)。那什么是【矩阵】呢?首先,从形式上看,矩阵就是由若干数按照排行排列,得到一个阵列。拿我们上面讨论的二维空间的基向量来说:它就是一个$2 \times 2$ 的矩形阵列:

$\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$

矩形阵列,有两种解读
横向:按行得到两个向量:$(1,0)$ 和$(0,1)$,称作【行向量】;
纵向:按列得到两个向量:称作【列向量】:$\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$,$\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$

当我们用矩阵表示各个维度的【基向量】时,要使用列向量,左面的列向量表示第一维度的【基向量】,右面的表示第二维度的【基向量】。
而作为整个二维空间的【基】,就是由这两个列向量组成的矩阵。按照我们上面的表达式,任何一个二维向量都可以表达为:$v = I \cdot (c_1, c_2) $,其矩阵表达式就是

$v = \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix} = c_1 \cdot\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}+ c_2\cdot\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$

等号右面表示各个维度的【基向量】与【标量】的乘积,加号代表【线性组合】,这就是向量表达不同质加法——不同【基向量】加法的最基本方法。

正如实数的表示未必一定要以1作为基数,向量的表示也未必要以【单元矩阵】为各个维度的基向量,可以是任何 $2 × 2$ 的矩阵。给定一个向量,如果将其表示为 $2 × 2$ 非单元矩阵与表示该向量大小的线性组合的乘积,则意味着改变这个向量的基使其成为基为单元矩阵的向量,这个过程,称作线性转换。它的一般形式是:

$f(ax+by) = af(x) + bf(x)$

不过,要透彻理解这个公式的意义还需要进一步的学习。提示:想象 $x$ 是第一维度的基向量、$a$ 是该维度的标量,$y$ 是第二维度的基向量,$b$ 是第二维度的标量;$f(x)$ 和 $f(y)$ 分别是第一维度和第二维度新的基向量;$f$本身表示线性转换。其实,学习线性代数的过程就是深入理解这个公式的过程。

归纳总结:
本篇笔记帮助你重新认识了加法和乘法的意义,这是线性代数带给我们的新认知:

  • 加法运算,除了表示相同性质对象量的叠加之外,在线性代数中还可以表示维度的增加。
    例:
    $3.14$ 是一维,$3.14 + 2i$ 是二维,$3.14 + 2i - 3j$ 是三维

  • 乘法运算,从运算角度,表示对基数的放大缩小,但是从向量空间的角度,乘法运算的实质意义是将非单位基 (non-identity basis) 的计数转换为单位基的计数。
    例1:
    $2 × 3 = 6$ 意思是:将以 $2$ 为基 的 $3 转换为以 $1 为基的 $6$
    例2:
    $\begin{bmatrix}3&5\\4&6\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}7\\8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}61\\76\end{bmatrix}$ 的意思是,将以$\begin{bmatrix}3&5\\4&6\end{bmatrix}$为基的$\begin{bmatrix}7\\8\end{bmatrix}$转换成以$\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$为基的$\begin{bmatrix}61\\76\end{bmatrix}$。

【基】和【标量】是表达「量」的基本工具。基的形式在 $n$ 维空间中是 $n \times n$ 矩阵;【标量】是表示群体规模的「量」,有多少个维度就有多少个标量。向量空间中的「量」都可以表示为【基】与【标量】的乘积:

$n = I \cdot c$ 是 一维数轴,其中,$I$ 是 $1 \times 1$ 矩阵;
$v = I \cdot (c_1,c_2)$ 是二维平面,其中,$I$ $2 × 2$ 矩阵
$v = I \cdot (c_1,\cdots,c_n)$ 是 $n$ 维空间,其中,$I$ 是 $n × n$ 矩阵

每一种代数结构都有自己天然定义的【基】,叫作单位基。自然数的单位基是 1,偶数的单位基是 $2$,整数的单位基是 $\{1, -1\}$,二维向量空间的单位基是单位矩阵 $((1, 0), (0, 1))$。通过乘法运算,我们就可以将以非单位基形式的量转换为单位基形式的量。

【向量】是元组的特殊形式:当元组中的「元」全部是数字时称作【向量】,向量在平面直角坐标系上的表示是有方向的量。向量的基数超过一个,每个维度一个基数,例如二维向量的基数有两个:$(1,0)$ 和 $(0,1)$,形成复合向量。

【矩阵】是向量的向量,由若干数排成方阵,横排的称作「行向量」,竖排的称作「列向量」,【矩阵】是许多其他数学对象的抽象表达,在本篇笔记中,矩阵是向量的【基】,亦即向量的「计数」单位。

【向量空间】是线性代数的核心概念。向量空间的定义是:所有向量的集合加上在这个集合上施行的向量加法和纯量乘法。其中向量加法使我们可以扩大维度,纯量乘法使我们可以得到同维度上的其它量。【向量空间】的这个定义让我们重新认识了加法的意义:如果是不同维度的量则加法意味着维度的增加($3$ 个西红柿 $+4$ 个鸡蛋 —— 从西红柿一个维度增加到西红柿、鸡蛋两个维度);而同一维度的量的加法则是传统的多个量的叠加($3$ 个西红柿 $+ 4$ 个西红柿,仍然是西红柿一个维度);同样,向量空间让我们重新认识了乘法的意义:纯量乘法代表在同一维度或同一方向某个量的放大或缩小(4 块钱一斤买 5 斤的意思是将 作为单位的 4 放大 5 倍)。

最后,最最最最最最重要的、千万不要忘了、千万要记住的是:

任何向量,都可以分解成矩阵与向量的乘积,亦即,

向量$v$ = 矩阵 $I$ × (标量 $c_1$, 标量 $c_2$)

其中,矩阵是基,标量 $c_1$和 $c_2$是 $v$ 在每个维度上的大小。如果向量的基是单位矩阵,那么向量 $v$ 等于 $(c_1,c_2)$。这个公式是我们上面

$n = I \cdot c$

的特殊形式——相当于你在一般线性代数教科书上看到的那个基本公式:

$A\cdot x = b$

所以,这三个公式其实是一回事,其实质意义都是基×规模,只是教科书不那么甘心让你彻底明白。

理解了基×规模 这个公式就理解了线性代数基本概念的三分之一;理解了向量空间为什么是由向量加法和纯量乘法定义就理解了线性代数基本概念第二个三分之一;最后,理解了$f(ax+by) = af(x) + bf(y)$ 就理解了线性代数基本概念的最后那个三分之一。

未完待续



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