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从零开始学习线性代数:线性组合的概念 精选

已有 5007 次阅读 2022-7-12 13:12 |个人分类:数学|系统分类:教学心得

 自己平时最爱吃的一道菜是西红柿炒鸡蛋,简单、味美、经济。

现在摆在我面前的是

🍅 🍅 🍅

🥚 🥚

当然还有其它辅料、调味料,这里忽略。当你看到上面的图画时你看到了什么?如果你的回答:西红柿和鸡蛋,那么你漏掉了一项最重要信息:数量,所以完整的回答应当是是:三个西红柿和两个个鸡蛋。

我们的线性代数之旅就从这里开始。

在上面的回答中,我们得到四项信息:1. 三个、2. 西红柿、3. 两个、4. 鸡蛋,不过这四项信息的意义不同,「三个」和「两个」表示的是量,「西红柿」和「鸡蛋」是两种物质的名称。因此做菜这项工作至少需要两类信息:什么、多少。前者,我们称之为「质」(quality),后者称之为「量」(quantity)。所谓「质」指的是某种对象区别于其它对象的特征、属性、性质,例如西红柿和鸡蛋在「质」的方面是完全不同的两种对象,我们平时观察事物时首先是区分不同对象的「质」的区别。

数学中是如何表达「质」的不同这个概念呢?「维度」。三个鸡蛋加两个鸡蛋可以得到五个鸡蛋,那三个西红柿加两个鸡蛋得到什么?回答是,三个西红柿加两个鸡蛋。不过,加法运算前和运算后性质有了些变化,加法前,西红柿和鸡蛋是互不相关的,做了加法之后,它们就形成了一个二维度的「组合」(combination),我们称作「西红柿炒鸡蛋」这道菜。

数学中是如何表达「组合」的呢?「元组」(tuple),换句话说,元组是用来表达不同质对象加法所产生的「维度」这个概念的。西红柿炒鸡蛋,作为一个二元组合,有两个维度:西红柿、鸡蛋。

除了「质」,我们上面的回答还包含了「量」,「量」只是概念,表达「量」(quantity) 概念的是「数」(number),语言形式是「数词」。例如1,2,3是数,一、二、三是数词。一般地,数学中使用数作为研究的个体对象,而用数词作为其表述形式。所以,三个西红柿和两个鸡蛋,在数学中要用 3 和 2 这两个数字表示「三个」和「两个」的概念。

数学用【集合语言】对「质」和「量」进行综合描述。在我们设定的语境中,

西红柿 = {🍅,🍅,🍅}

鸡蛋 = {🥚,🥚}

其中,「西红柿」这个汉语单词是代表三个🍅实例的集合,也就是🍅的概念,「鸡蛋」是代表两个🥚实例的集合。
当然,数学语言很少直接用对象本身作为集合的元素,而是用符号代替,例如 a1 = 第一个🍅,a2 = 第二个🍅,a3 = 第三个🍅;b1 = 第一个🥚,b2 =第二个🥚,这样

西红柿 = {a1, a2, a3}
鸡蛋 = {b1, b2)

这种用符号代替实物的过程,我们称作「抽象」,数学就是这样一层层由抽象堆叠起来的参天高楼大厦,地面就是我们可以直接感知到的世界。我们用符号代替直接感知到的对象,是第一层抽象——最底层的抽象——抽象度最低的抽象。

有了集合,我们就可以得到这个集合的规模——量,而把量的概念用阿拉伯数字表达出来就是数,这个过程称作「计数」(counting),把计数的概念再抽象我们就得到「统计」的概念。例如把上面「西红柿」与「鸡蛋」集合计数后,我们就分别获得了两个「量」——三个和两个,这两个「量」用阿拉伯数字表达就是 3 和 2 。

如果我们不关心集合中每个具体的对象实例,数学还提供了另一种工具表达质和量:

西红柿 x 3 —— 三个西红柿
鸡蛋 x 2 —— 两个鸡蛋

如果我们把「西红柿」和「鸡蛋」也用符号表示,例如「西红柿」用A,「鸡蛋」用B,那么我们的表达式就是

A × 3、B × 2

那么回到上面最开始的问题就是:三个西红柿加两个鸡蛋得什么?在做菜这个例子中,我们的答案是——如上面所言——是「西红柿炒鸡蛋」

翻译成数学语言就是:

A × 3 + B × 2 = C(其中,C代表「西红柿炒鸡蛋」。

这个数学表达式,完整地表达了「质」和「量」—— 字母表达「质」,「数」表达「量」。

数学表达式的特点是它的通用性,通用性的意思就是抽象,意思是,数学表达式关心的不是具体事物而是一般规律或规则。例如我们上面的表达式,不但可以表达3个西红柿和2个鸡蛋,也可以表达3支铅笔和2块橡皮。这个表达式的核心是对事物组合的「量」的抽象,无论是西红柿和鸡蛋还是铅笔和橡皮,它们的共同点是,各自的数量相同,都是3和2。

总之,我们得到了一种模式,允许我们将两种不同的对象相加,获得一种「组合」的结果。这样的「组合」通过数字明确表达组合中各个维度的量,通过参加加法运算对象的个数表达维度。如果我们的西红柿炒鸡蛋还加入了1根黄瓜,那么这道菜就有了三个维度,它们的组合形式就是

A × 3 + B × 2 + H × 1 = C

其中H代表黄瓜,C代表做好的菜肴。C具有三个维度,A、B、H。

线性组合的实质就是把若干不同数量的不同对象加在一起形成一个组合形态:ax1 + bx2 + cx3   —— 线性组合,其实质意义是:用乘法表示同质对象的组合,用加法表示不同质对象的组合

而线性代数的核心概念就是,对一个给定的线性组合施加一个操作,在保持同样线性组合的情况下将其「转换」成另一种表达形式。例如,你在电脑屏幕上看到一个不透明的三维长方体,你只能看到一个侧面。如果你想看到其它侧面,就要移动或翻转。当我们把定义这个长方体的八个点看做是八个不同对象,同样有「质」与「量」,「质」是电脑屏幕上的点,量是这个点到平面直角坐标系的长度。这样就可以获得一个八维的元组,其中ai代表每个点的数值,元组中的数列的顺序对应屏幕上每个点的位置,

进而得到相应的线性组合


现在我们对这个线性组合施加一个翻转操作

(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8) ——>  翻转 ——> (a'1,a'2,a'3,a'4,a'5,a'6,a'7,a'8)

把这个翻转操作看作是函数,那么,函数的输入就是将一个八维的线性组合转换为另一个八维的线性组合。如果将汉语动词「翻转」看作是一个函数,那么上面的翻转过程还可以写作:

翻转(a1x1 + a2x2 +a3x3 +a4x4 +a5x5 +a6x6 +a7x7 + a8x8)
= a'1x1 + a'2x2 +a'3x3 +a'4x4 +a'5x5 +a'6x6 +a'7x7 + a'8x8

其中,翻转前和翻转后的线性组合仍然保持了相同的结构,只是新组合的量原组合在各个维度上的量未必相同。

这样,我们就会得到同一线性组合的另一种表达式,反映在电脑屏幕上就是同一长方体的另外某个侧面的显示。把「翻转」操作抽象化,就是【函数】概念,因此,对线性组合进行的任何操作都可以表示为:


如果将「西红柿炒鸡蛋」做线性转换是这样的:假定家里来了客人,3个西红柿+2个鸡蛋做出的菜量不够吃,需要加倍,

2 × (3个西红柿 + 2个鸡蛋)= 6个西红柿 + 4个鸡蛋

虽然数量加倍,但是线性组合的结构没有变,也就是说,6个西红柿+4个鸡蛋炒出来的口味和3个西红柿 + 2个鸡蛋做出来的口味相同。

小结:小学的加法只能是同一性质的对象之间的运算,例如三个西红柿加两个西红柿,而线性组合允许我们做不同性质对象的加法运算,例如三个西红柿加两个鸡蛋。这样的运算之所以可能,就是因为我们引入了「维度」的概念,表示维度概念的符号称作「元组」—— (a1,...,an)—— 将不同对象的数量逐个列出,以逗号相隔,并以圆括号作为开头和结尾。例如,三个西红柿加两个鸡蛋,就是两个维度的对象进行加法运算,因此其数学表达式是一个二维元祖,写作 (3,2)。所以,三个西红柿加两个鸡蛋的完整数学表达式是

西红柿 x 3 + 鸡蛋 x 2 =  (西红柿, 炒鸡蛋) ( 3, 2 )

这样的运算就是「线性组合」(linear combination)。对线性组合可以进行各种转换,以获得对线性组合的不同「视图」,如果用T代表「转换」操作,那么基本公式就是
T (原线性组合) = 新线性组合
这个新线性组合保留了原线性组合的结构,只是大小、方向、维度可能不同。

将给定的线性组合进行转换操作,形成同一线性组合的另一种表示,这就是线性代数的核心与本质——线性转换 (linear transformation)。

下一步,我们将深入讨论「维度、基、向量、矩阵和向量空间



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