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2023年“世界逻辑日”:倡议重读哥德尔1931年论文

已有 1126 次阅读 2023-1-14 18:13 |个人分类:解读哥德尔不完全性定理|系统分类:科研笔记

2020年1月14日“世界逻辑日”创建之际,联合国教科文组织总干事奥黛丽-阿祖莱女士致辞 [1]:

  • 为了提高人们对逻辑的重要性的认识,教科文组织宣布1月14日为“世界逻辑日”。之所以特地选择1月14日,是为了纪念二十世纪的两位逻辑学巨匠:库尔特·哥德尔(Kurt  Gödel),去世于1978年1月14日,其不完全性定理改变了二十世纪逻辑研究的面貌;阿尔弗雷德·塔斯基(Alfred Tarski),出生于1901年1月14日,其理论与哥德尔的理论形成了对话。

一,令人不安的哥德尔证明

美国最大出版社诺顿公司在介绍2021年出版的哥德尔传记“理性的边缘之旅 - 库尔特-哥德尔的一生”(Stephen Budiansky)时说 [2] :

  • 这是第一本为普通读者撰写的关于这位逻辑学家和数学家的重要传记,他的不完全性定理帮助发起了一场现代科学革命。哥德尔的著名证明,即每个数学系统都必须包含“为真但不可证明的命题”——在发表后的近一百年里,继续令数学、哲学和计算机科学感到不安。

此说并不夸张,那么哥德尔不完全性定理中到底有什么令人至今不安?如果我们仔细观察,就会发现这种不安并不是由形式系统包含“为真但不可证明的命题”这个结论引起的,而是由哥德尔的证明引起的:哥德尔论证如“说谎者悖论”的命题是形式系统中的“不可判定命题”,由此可以得出:形式系统中存在着悖论!


哥德尔的证明自发表以来一直受到挑战,道森(John W. Dawson Jr. )在文章“哥德尔不完全性定理的接受情况(The reception of Gödel's Incompleteness Theorems)”中对此进行了梳理 [3] (p.74-95):

  • 策梅洛(Ernst Zermelo)在1931年写给哥德尔的信中说,哥德尔对不可判定命题存在性的证明存在一个“essential gap”;

  • 逻辑学家佩雷曼(Chaïm Perelman)断言,哥德尔发现的实际上是一个二律背反(Antinomy);

  • 维特根斯坦(Ludwig Wittgenstein)对哥德尔的证明发表了备受争议的评论(Remarks on the Foundations of Mathematics,1938);

  • 罗素(Bertrand Russell)在给亨金(Leon Henkin)的信中表达了他的深刻困惑:我当然意识到哥德尔的工作具有根本的重要性,但我对它感到困惑。[……] 如果一个给定的公理集导致矛盾,很明显,至少有一个公理必须是错误的。

。。。


还有埃尔布朗(Jacques Herbrand)在1931年写给哥德尔的信中指出 [4]  (p.3-14)哥德尔证明中的形式系统不能表达如Ackermann那样的非原始递归函数。


更有待人们重新认识的图灵(Alan Turing)关于Entscheidungsproblem的证明(1936)[5] ,其中图灵隐含提到哥德尔所犯的错误,并大胆地对其进行了修正。


哥德尔的证明所造成的不安在人文学科中 [2] [6-8] ,甚至在人文学科与自然科学的碰撞中,不断被探讨,如物理学家索卡尔制造的“索卡尔的骗局” [9] ;人类学家保罗-乔里昂(Paul Jorion)从知识人类学的角度对哥德尔证明的质疑 [10] ,。。。


但是在数学逻辑领域,对哥德尔的证明所造成的不安,如今人们采取几近回避的态度。比如,法国逻辑学家吉拉尔(Jean-Yves Girard)在其书“盲点,逻辑课程 — 迈向完美”中(第二章 不完全性定理)中说 [11] :

  • 探讨哥德尔定理的技术奥秘是不可能的,原因有几个:此结果,基本上很简单,但只能像看莫奈的老画一样,保持一定距离观看;靠近看,只是繁琐的细节,人们不一定想知道,。。。我们也不需要,因为这个定理是一个科学的死胡同:它指向一个死胡同。既然那里没有什么可找的,那么成为哥德尔定理的专家就没有意义了。

今天“世界逻辑日”之际,我们倡议从科学发现的角度重读哥德尔1931年的论文,正视这种至今仍令人不安的现象。

二,科学发现的逻辑


科学发现是否有一个逻辑?研究者是如何找到他们的假说并推进我们的知识?皮尔士(Charles Sanders Peirce)用区别于“演绎法”和“归纳法”的“溯因法(abduction)”来指称人们采用“假说”(hypothese)的“从果到因”的推理 [11] ,这里的假说指预先设定的对科学发现的“解释”。如果没有溯因,我们将注定只能知道现象,而不能了解事物的本质,在此意义上,可以说溯因法是科学发现的逻辑。


溯因法的基本形式是这样的:

- 观察到令人惊讶的现象C;

- 现在,如果假说A成立,C就会发生;

- 因此,有理由猜测A是真实的。


假说是由思想构思出来的,需要转化为一个演绎性的三段论来验证其真实性: “如果A是真的,C就会发生;而A成立,因此C会发生”。


所以,溯因法的最根本问题涉及假说的解释价值与真实性之间的关系,其有效性取决于两个因素:假说能否合理解释现象,假说是否可验证。


溯因法在科学发现的第一个阶段出现,是寻求真理的出发点,与演绎法和归纳法结合,使得溯因法不再是单纯的形式逻辑推理,而是涉及到语言,哲学,认知论,形式逻辑与非形式逻辑相结合的综合性推理。


三,倡议重读哥德尔1931年的论文


道森提到“哥德尔不完全性定理”的缘起 [3] (p.95):

  • 在1970年答复一个研究生询问的草稿中,哥德尔表示,正是他对可证明性的形式可定义性和真理的形式不可定义性之间的对比的认识,导致了他对不完全性的发现。

也就是说,“不完全性”实际上是哥德尔的一个令人惊叹的“发现”,但确切地说,此发现源于Hilbert提出的Entscheidungsproblem(判定问题)[13] (p.45-53),为将此“发现”推进为“知识”- 不完备性定理,哥德尔在1931年的论文(On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems I)中提出了著名的“哥德尔证明” [3] [14] [15] [16] 。所以,哥德尔的真正贡献应该是他的“证明”。


哥德尔的证明是建立在悖论的基础上的:以“理查德悖论”为起点,而以“说谎者悖论”为终点。所以,“悖论”是哥德尔用于解释“不完全性”的假说。哥德尔的证明主要在第一章和第二章展开:在第一章,哥德尔利用“理查德悖论”构造出著名的命题G:说自己是不可证明的,即“说谎者悖论”;然后在第二章,哥德尔在自己定义的形式系统中“论证”来自第一章的悖论命题是“为真但不可证明”的“不可判定命题”。由此宣称证明了如皮亚诺这样的形式系统的“不完全性”。


根据溯因法的框架,我们问:

1. 哥德尔证明对人们认识形式系统的“不可判定命题”有什么帮助?

2. 哥德尔的悖论命题G(说自己是不可证明的)是如何构造出来的?命题G在哥德尔所考虑的形式系统中存在吗?如果不存在,哥德尔的证明还有效吗?

3.当罗素悖论出现在集合论中时,人们将之视为危机,并尽一切努力消除之;那么,为什么当说谎者悖论出现在哥德尔的证明中时,人们却没有同样的警觉?


因此,我们倡议从科学发现的角度重读哥德尔1931年的论文,深入哥德尔的原始证明,超越思想的局限去观察和思考,共同面对令人不安的哥德尔证明。我们认为,在当今充满危机的时代,渴望真相,探寻真相,是化解不安的最根本的途径。在此意义上,解读哥德尔,也是在解读我们自己,。。。


参考文献:

[1] https://unesdoc.unesco.org/ark:/48223/pf0000372449_chi

[2] Stephen Budiansky, Journey to the Edge of Reason - The Life of Kurt Gödel (2021). https://wwnorton.com/books/9781324005445/overview

[3] S.G. Shanker (ed.), Gödel’s Theorem in Focus, Croom Helm 1988, https://pdfslide.net/documents/godels-theorem-in-focus-philosophers-in-focus.html

[4] Kurt Gödel: Collected Works: Volume V, Volume 5

https://books.google.fr/books?id=4rTYxQEACAAJ&printsec=copyright&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false

[5] Alan Turing, « On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem », https://www.cs.virginia.edu/~robins/Turing_Paper_1936.pdf

[6] Rebecca Goldstein, Incompleteness: The Proof and Paradox of Kurt Gödel): https://www.essra.org.cn/upload/202102/Incompleteness%20-%20The%20Proof%20and%20Paradox%20of%20Kurt%20Godel%20by%20Rebecca%20Goldstein%EF%BC%882005%EF%BC%89.pdf

[7] Pierre Cassou-Noguès, Les Démons de Gödel - Logique et folie (2007). https://www.amazon.fr/D%C3%A9mons-G%C3%B6del-Logique-folie/dp/2020923394

[8] James R Meyer, The shackles of conviction. Paperback (2022). https://www.amazon.com/Shackles-Conviction-James-R-Meyer/dp/1906706093

[9] https://fr.wikipedia.org/wiki/Affaire_Sokal

[10] Paul Jorion, Comment la vérité et la réalité furent inventées (Gallimard 2009). https://www.gallimard.fr/Catalogue/GALLIMARD/Bibliotheque-des-Sciences-humaines/Comment-la-verite-et-la-realite-furent-inventees

[11] Jean-Yves Girard , Le Point Aveugle, Cours de Logique - Vers la perfection. http://recherche.ircam.fr/equipes/repmus/mamux/hermann.pdf

[12] Frédéric Roudaut, Comment on invente les hypothèses : Peirce et la théorie de l’abduction, https://www.cairn.info/revue-cahiers-philosophiques-2017-3-page-45.htm

[13] The Essential Turing: Seminal Writings in Computing, Logic, Philosophy, Artificial Intelligence, and Artificial Life:

Plus The Secrets of Enigma, B. Jack Copeland, Editor 

http://www.cse.chalmers.se/~aikmitr/papers/Turing.pdf

[14] Godel, On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems, translated by Bernard Meltzer :  

https://monoskop.org/images/9/93/Kurt_G%C3%B6del_On_Formally_Undecidable_Propositions_of_Principia_Mathematica_and_Related_Systems_1992.pdf

[15] Godel, On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems, in "The Undecidable", edited by Martin Davis : 

https://books.google.fr/books?id=qW8x7sQ4JXgC&pg=PA4&hl=fr&source=gbs_toc_r&cad=4#v=onepage&q&f=false

[16] Godel, On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems, translated in French by Jean-Baptiste Scherrer :

https://www.seuil.com/ouvrage/le-theoreme-de-godel-jean-yves-girard/9782020327787





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