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x^n+a=0的根式解

已有 3265 次阅读 2015-5-25 20:24 |个人分类:数理|系统分类:论文交流

x^n+a=0的根式解

 

  通常x^n+a=0应可解为:

x=(-a)^(1/n)

 

  有人就因:

(-a)^(1/n)=(-1)^(1/n) a^(1/n) 而认为:

(-1)^(1/n)=-1,  

(-a)^(1/n)=- a^(1/n)

 

  当指出他不对时,还“理直气壮”地“教训”指出他错误的人。

 

这是因为他根本不知道(-1)^(1/n)到底是什么?!

他这种错误,其实,也是现在许多人的通病,

因而,有必要具体纠正,解决如下:

 

(-1)^(1/n)x^n+1=0的根式解;

   它有n为个值,n为大于2的奇数时,-1只是它的1个值;n为大于4的偶数时,1 -1只是它的2个值。

x=(-a)^(1/n)x^n+a=0的根式解;

它也有n个值;

x=(a)^(1/n)x^n-a=0的根式解;

它也有n个值;

n为大于2的奇数时,-(a)^(1/n)只能是(-a)^(1/n) n个解中,

对应于(-1)^(1/n)n个解中=-1,乘(a)^(1/n) n个解中相应的那个解;

n为大于4的偶数时,(a)^(1/n) -(a)^(1/n)只能是(-a)^(1/n) n个解中,

对应于(-1)^(1/n)n个解中=1-1,乘(a)^(1/n) n个解中相应的那2个解。

 

而决不能误认为:

(-a)^(1/n)=-(a)^(1/n)

 

n=2

(-1)^(1/2)x^2+1=0的根式解,它有2个值,

通常把它们表达为:

+i -i。但要注意:不能误认为它只是i -i1个值。

 

n=3

(-1)^(1/3)x^3+1=0的根式解,

它有3个值,除-1而外,还有2个互为共轭的复数值。

 

以及n=更大的情况,方程x^n+a=0,它们全部的值,都只有逐次仅引进2次根式解出它们全部各根,才能确定。

 

按本博客博文

http://blog.sciencenet.cn/blog-226-860084.html 和

http://blog.sciencenet.cn/blog-226-873126.html所给方法,

这些实际上,是相应简化了的方程,就都能解决,例如;

 

x^2 +a0=0(x +(-a0)^(1/2)) (x -(-a0)^(1/2))=0

x1=(-a0)^(1/2)=i(a0)^(1/2),  x2=-(-a0)^(1/2)=-i(a0)^(1/2),

 

x^3 +a0=0,消去其1个根,x3,有x^2 +a0=0

x1=i(a0)^(1/2),  x2= -i(a0)^(1/2),  

将它们代入3次方程根与系数的1个关系式即得:x3=-a0/(x1x2)=-1

 

x^4+a0=0

(x^2+(-a0)^(1/2))(x^2-(-a0)^(1/2))=0,

(x^2+i(a0)^(1/2))(x^2-i(a0)^(1/2))=0,

(x+(i)^(3/2)(a0)^(1/4))(x-(i)^(3/2)(a0)^(1/4))

(x+i^(1/2)(a0)^(1/4))(x-i^(1/2)(a0)^(1/4))=0,

x1=-(i)^(3/2)(a0)^(1/4),

x2=(i)^(3/2)(a0)^(1/4),

x3=-i^(1/2)(a0)^(1/4),

x4=i^(1/2)(a0)^(1/4),

 

x^5 +a0=0,消去其1个根,x5,有x^4 +a0=0, 即得:

x1=-(i)^(3/2)(a0)^(1/4),

x2=(i)^(3/2)(a0)^(1/4),

x3=-i^(1/2)(a0)^(1/4),

x4=i^(1/2)(a0)^(1/4),

将它们代入5次方程根与系数的1个关系式即得:x5=-a0/(x1x2x3x4)=-1

 

x^6 +a0=0,

(x^3+i(a0)^(1/2))(x^3-i(a0)^(1/2))=0,

  消去x3x6,有:

(x^2+i(a0)^(1/2))(x^2-i(a0)^(1/2))=0,

x1=-(i)^(3/2)(a0)^(1/4),

x2=(i)^(3/2)(a0)^(1/4),

将它们代入3次方程根与系数的1个关系式即得:x3=- i(a0)^(1/2)/(x1x2)=1

x4=-i^(1/2)(a0)^(1/4),

x5=i^(1/2)(a0)^(1/4),

将它们代入3次方程根与系数的1个关系式即得:x6= i(a0)^(1/2)/(x1x2)=-1

 

x^7+a0=0, 消去其1个根,x7,有:x^6+a0=0,

x1=-(i)^(3/2)(a0)^(1/4),

x2=(i)^(3/2)(a0)^(1/4),

x3=- i(a0)^(1/2)/(x1x2)=1

x4=-i^(1/2)(a0)^(1/4),

x5=i^(1/2)(a0)^(1/4),

x6= i(a0)^(1/2)/(x1x2)=-1

将它们代入7次方程根与系数的1个关系式,即得:x7=-a0/(x1x2x6)=-1

 

由此类推,就仅需引进2次根式,即可解得任意n次的x^n+a0=0,方程的公式解。

 

  对于a0=1的简化情况,即得:

 

x^2 +1 =0(x +(-1)^(1/2)) (x -(-1)^(1/2))=0

x1=(-1)^(1/2)=i,  x2=-(-1)^(1/2)=-i,

 

x^3 +1=0,消去x3,有x^2 +1=0

x1=i,  x2= -i,  

将它们代入3次方程根与系数的1个关系式即得:x3=-1/(x1x2)=-1

 

x^4+1=0

(x^2+(-1)^(1/2))(x^2-(-1)^(1/2))=0,

(x^2+i)(x^2-i)=0,

(x+(i)^(3/2))(x-(i)^(3/2))

(x+i^(1/2))(x-i^(1/2))=0,

x1=-(i)^(3/2),

x2=(i)^(3/2),

x3=-i^(1/2),

x4=i^(1/2),

 

x^5 +1=0,消去x5,有x^4 +1=0, 即得:

x1=-(i)^(3/2),

x2=(i)^(3/2),

x3=-i^(1/2),

x4=i^(1/2),

将它们代入5次方程根与系数的1个关系式即得:x5=-1/(x1x2x3x4)=-1

 

x^6 +1=0,

(x^3+i)(x^3-i)=0,

  消去x3x6,有:

(x^2+i)(x^2-i)=0,

x1=-(i)^(3/2),

x2=(i)^(3/2),

将它们代入3次方程根与系数的1个关系式即得:x3=- i/(x1x2)=1

x4=-i^(1/2),

x5=i^(1/2),

将它们代入3次方程根与系数的1个关系式即得:x6= i/(x1x2)=-1

 

x^7+1=0, 消去x7,有:x^6+1=0,

x1=-(i)^(3/2),

x2=(i)^(3/2),

x3=- i/(x1x2)=1

x4=-i^(1/2),

x5=i^(1/2),

x6= i/(x1x2)=-1

将它们代入7次方程根与系数的1个关系式,即得:x7=-1/(x1x2x6)=-1

 

由此类推,就仅需引进2次根式,即可解得任意n次的x^n+1=0,方程的公式解。

 

 



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