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具体探求是否有“无限长度的素数等差数列”结果证明不可能有

已有 3490 次阅读 2015-2-13 17:37 |个人分类:数理|系统分类:论文交流

    具体探求是否能有“无限长度的素数等差数列”结果证明不可能有 

 

中国科学院  力学研究所  吴中祥

 

提          要

 

   简介素数等差数列,及其已有重要研究成果。

创建了2种确定素数顺序的基本方法和判断素数的简便方法,用以探究是否能有“任意长度的素数等差数列”?

结果证明:不可能有“任意长度的素数等差数列”。

 

1.什么是“素数等差数列”

用素数构成的等差数列被称为素数等差数列。

例如:从3开始,以2为差,3,5,7 ,共3个素数的数列;从5开始,以12为差, 5,17,29,41,53,共5个素数的数列;从199开始,以210为差,199,409,619,829,1039,1249,1459,1669,1879,2089,共10个素数的数列

 

到目前为止,由计算机已算得的素数等差数列是从56211383760397开始,以44546738095860为差,最后一位数是56211383760397+44546738095860×22,共23个素数的数列。

 

2.素数等差数列可以任意长吗?

数学家们一直认为,素数等差数列可以任意长,但是,在2004年前,没能证明。

 

1939年,当时,荷兰数学家Johannes van der corput证明:有无穷多个由3个素数构成的等差数列。

 

英国数学家Atath Brown证明,由前面三个素数和后面不超过两个素数的乘积构成的4个数的等差数列有无穷多。

 

2004年4月18日,陶哲轩和格林两人宣布:他们证明了“存在任意长度的素数等差数列”,他们将长达50页的论文——《素数含有任意长度的等差数列》——张贴在当日的预印本网站上,并向《美国数学年鉴》(Annals of Mathematics)投稿。

 

他们的证明立即在国际学术界引起轰动。2004年5月21日出版的美国《科学》杂志报道说,“两位数学家用数论中一个令人眩晕的突破结束了一个问题。”

 

《发现》杂志将陶哲轩和格林在素数方面的研究评选为2004年100项最重要的发现之一;2004年出版的《现代数论导引》已经引用这篇尚未正式发表的论文所涉及的工作。

 

   但是,不知他们是怎么证明的,且证明太繁复,长达50页,又没能给出具体实例。

 

3.探求各种可能的“无限长度的素数等差数列”

按素数的特性,已经创建了:由小于素数j(m)的各素数j(m-k) 除j(m)的商,j(m)/j(m-k); k=1,2,…,m-1,都不是整数,作为判定j(m)是素数的基本条件。

 

又创建了由整数的末位数,判断其是否素数的简便方法,即:

 

所有的偶数都可被2整除,就不是素数,因此:

末位数为:2、4、6、8、0,的任何整数,就都不是素数。

末位数不是:2、4、6、8、0,的任何整数,就可能是素数。

5与任何数相乘,其末位数必为:5或0,因此:

末位数为:5和0的任何整数,就都不是素数。

末位数不是:5和0的任何整数,就可能是素数。

对于末位数为:1、3、7、9的任何整数,则:

3与任何数相乘,其各位数之和,都必可被3整除,就不是素数,因此:

各位数之和可以被3整除的整数,就都不是素数。

各位数之和不可被3整除的整数,就可能是素数。

若不能被3整除:

且其各位数都是7,可被7整除,就不是素数。

且其各位数不都是7,不可被7整除,就可能是素数。

且其末位数为3,则,去掉其末位数后,减6,如前,判断其是否能被 7或9整除;若能,该整数就能被7或9整除,若不能,其末位数,又为3,则重复如上做法;直到最后只剩下2位数,若=63,则该整数就能被7或9整除,就不是素数。

且其末位数为9,则,去掉其末位数后,减4,如前,判断其是否能被 7整除;若能,该整数就能被7整除,若不能,其末位数,又为9,则重复如上做法;直到最后只剩下2位数,若=49,则该整数就能被7整除,就不是素数。

若以上各种情况,都不成立,

且其末位数为1,则,

去掉其末位数后,减2,判断其是否能被 7整除;若能,该整数就能被7整除,若不能,其末位数,又为1,则重复如上做法;直到最后只剩下2位数,若=21,则该整数就能被7整除,就不是素数。

或去掉其末位数后,减8,判断其是否能被 9整除;若能,该整数就能被9整除,若不能,其末位数,又为1,则重复如上做法;直到最后只剩下2位数,若=81,则该整数就能被9整除,就不是素数。

若以上情况都不成立,就可能是素数。

 

对于高位数的整数,还必须考虑到是否能被更高位数的素数整除,例如:

末位数=1的   221  可被  13,17 整除;

末位数=3的   553   可被  29,17 整除;

末位数=7的   187   可被  11,17 整除;

末位数=9的   2299  可被  11,19   整除;等等,都须具体判定。

 

   正因以上方法尚未解决判定是否能被大于11的各素数整除,就必须限制于整数小于121,才能得出:

   任何整数,只要以上各种情况,有任何一种成立,就不是素数,如果所有情况都不成立,就必是末位数=1,3,7,9的素数。

虽然,还可以给出更多的条件,增大必须限制小于的数值,但是,这个数值不可能无穷大。

 

由以上2种判定是否素数的方法,就可以按序,m,列表,具体确定各个素数,j(m),的数值,并可以确定,

r(m,k)=j(m+k)-j(m),例如:

 

m     1  2  3  4  5   6  7  8   9  10  11  12 13 14 15 … … …

j(m)   2  3  5   7 11  13  17 19  23  29  31  37 41 43 47 … … …

r(m,1) 1 2 2 4 2  4 2 4  6  2  6  4  2 4 … … …

r(m,2) 3 4 6 6 6  6 6  10  8 8  10 6  6  … … …

r(m,3) 5 8 8  10  8 10 12  12 14  12  12 10  … … …

r(m,4) 9 10 12 12  12  16 14  14 18 14  16 … … …

 

j(m,s,t) = j(m)+ r(m, s,t)

当r(m,s,t)=2ts,

     对于,确定的m和s,t=0,1,2,…,t为止,当下式

j(m,s,t)= j(m)+2ts,都能满足,

j(m, s,t)就是:j(m)为初项,2s为差值的共t+1项的素数等差数列。 例如:

 

m   s       j(m)       t    j(m, s,t)     可被整除的素数

2   1         3        0        3

                     1        5

                      2        7

                      3        9              3

 

2   14        3        0        3

                      1        31

                      2        59

                      3        87             3,29

 

2   19        3        0        3

                      1        41

                      2        79

                      3        117            3,13

 

3   3         5        0        5

                      1        11

                      2        17

                      3        23

                      4        29

                      5        35             5,7

 

3   6         5        0        5

                      1        17

                      2        29

                      3        41

                      4        53

                      5        65             5,13

 

3   9                  0        5

                      1        23

                      2        41

                      3        59

                      4        77              7,11

 

4   6                  0        7

                      1        19

                      2        31

                      3        43

                      4        55              5,11

 

4  15                 0         7

                     1         37

                     2         67

                     3         97

                     4         127

                     5         157

                     6         187            11,17

 

5  3                0          11

                   1          17

                   2          23

                   3          29

                   4          35              5,7

 

5  15               0          11

                   1          41

                   2          71

                   3          101

                   4          131

                   5          161           7,23

 

5  30               0         11

                   1         71

                   2         131

                   3         191

                   4         251

                   5         311

                   6         371            7,53

 

46  105    199      0           199

                   1           409

                   2           619

                   3           829

                   4           1039

                   5           1249

                   6           1459

                   7           1669

                   8           1879

                   9           2089

                   10          2299       11,19

 

当s=15n;n为任意正整数,则2s=30n各位数之和都=3,

且当j(m,s,0)=j(m)的末位数=7,则对于任意的t,j(m,s,t+1)的末位数也必然=7,因而,只要j(m)的各位数中,不存在4,和在任意的相邻2位,不存在56,或65,则,增加2st=30nt,t是任意大的正整数,就都不会使其各位数都=7,

而且,任何素数的乘积,除了7乘11=77而外,也都不会使其各位数都=7,

   因而,以上的各种情况,必然都不能被7整除。

 

由此可见,当取s=15n;n为任意正整数,j(m)的末位数=7,且大于77,并且各位数中,不存在4,和在任意的相邻2位,不存在56,或65,但还需要j(m,s,t)= j(m)+2ts;t=1,2,…,到任意大的正整数,都不是末位数=9和3,或=7和1的,素数的乘积,才能得到各种可能的“无限长度的素数等差数列”。

 

而对于足够大的素数,末位数=9,3,7或1的很多,j(m,s,t)=j(m)+2ts;t=1,2,…,到任意大的正整数,都不是末位数=9和3或=7和1的,素数的乘积,是不可能的。

 

   而且,也没有任何其它的选取,能够得到“无限长度的素数等差数列”。

 

因而,不可能有“无限长度的素数等差数列”。

 

   

 

 



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