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弦切角定理的逆定理——答scrat233 博友

已有 8038 次阅读 2016-5-6 21:03 |个人分类:莫名其妙|系统分类:科普集锦| 尺规作图, 弦切角定理逆定理


弦切角定理的逆定理——答scrat233博友


  这段时间到处瞎忙,几乎荒废了科学网博客......

  今天收到scrat233博友的留言,忽然来了兴致——兄弟我素来对“神圣的平面几何”没有抵抗力,这种简洁的模式里蕴含着神性!

  由于留言系统无法上传图片,只好小题大作,草就一篇,贻笑大方。

 

  博友的留言如下:

scrat233  2016-5-6 17:51

李老师好,我平时喜欢尺规作图,头几天做出一道题,但证明不了,已困扰多日。
题目:三步尺规做,过已知圆1上一点A的切线。
我的解法:
一、以圆1上任意点(不包括A,以及过A的直径点A`)为圆心,过点A做圆2,交圆1于B点;
二、以A为圆心,过点B,做圆3交圆2于C;

三、连接AC,得到切线。


   按照兄弟我的个人习惯,我将作图步骤的表述修改为如下:

   一、取圆O1上的任意点O2(不包括A与A在圆O1上关于圆心O1的对称点),连接AO2。以O2为圆心,O2A为半径作圆O2交圆O1于B,连接AB,

     二、以A为圆心,AB为半径作圆A交圆O2于C;

     三、连接AC,求证AC为圆O1的一条切线。


     兄弟我用几何画板作了个示意图:

   

      需要申明一点:这个问题的前提应该是圆O1圆心的位置未知。否则不必如此大费周章,直接连接圆心与切点延长作垂线即可。故而在证明过程中也不能使用O1圆心位置的任何信息。

   现在简单说明一下证明思路:

   1,连接O2BO2C,易证等腰三角形AO2B和等腰三角形AO2C全等;

       2,易证角ABO2=角O2AC,可直接使用弦切角定理的逆定理得证AC为圆O1的一条切线。

   

   附记

    如有需要可以先证明弦切角定理的逆定理作为引理备用,证明思路如下:


    以上......



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