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即使肤浅幼稚,也要立此存照——L同学的“研究报告”

已有 2795 次阅读 2014-6-10 11:38 |个人分类:我是被教授!|系统分类:教学心得| 学生, 研究报告

 

即使肤浅幼稚,也要立此存照——L同学的“研究报告”

     上回说到《“二把刀”老师和“不靠谱”学生》(http://blog.sciencenet.cn/blog-217073-801311.html )。王春艳老师点名要看L同学的“研究报告”。经“二把刀”老师与L同学联系,获其应允,特将其所选题目及“报告”公布如下(均为L原稿,本人一字未改,错别字都没改!):

再次郑重申明:本计划无意也不能用于物理学专业训练,连参考价值都没有!!充其量就是物理学相关的思维游戏。如若擅用,误人子弟,本人概不负责!!!

“物理学的历史和理论”自修计划

The history and theory of physics

 

L同学所选题目:

题目3Euclid平面几何体系范式综述

 

要点提示:注意建立Euclid公理系统与Newton力学公理系统的关联

 

主要参考文献

Euclid, Elements(可考虑中文翻译版);

I. Newton, Mathematic Principles of Natural Philosophy(可考虑中文翻译版)

 

难度情况:低

Euclid平面几何体系范式综述

              L    2011.01.07

(一)

科学的发展和人类认知世界的水平的发展是很相似的。最初的总是最直观、最显然的。古希腊时候的科学处在婴儿阶段,和现在的科学相比自然就是简单而又基础的了。

当一个婴儿刚来到世上,假如我们能听懂他的语言的话,他不会利用外界的东西或者说他根本不知道怎么用,更不知道那些东西是怎么产生的,他唯一能与它们发生联系的方式就只有——描述,把进入眼睛的信息转换成语言信息(假设他已经有了语言能力)。这种把不同于自己所掌握的表达方式转换成自己的表达方式,我觉得也算是一种模仿行为。而古希腊时候的科学仿佛就是这样的一种“模仿”。

白天,太阳挂在头顶;夜晚,又有月亮静静守护着人们。人们对朝夕相处的日月渐渐有了不一样的感情——于是,圆形出现了,人们模仿日月的样子,想把它们留在纸上。

星星是点,树枝是线,大地是面。点组成线,线构成面……又不再只是单纯的模仿,人们开始发挥自己的想象,在平面的图形中融入自己的情感。星星构成了星座,每个星座又有一个美丽的神话。

像婴儿一般单纯,古希腊的科学家们尽情感受着大自然的美,也创造着人类文明的美。

 

                  (二)

日子一天天过去,当一个孩子已经能很好的描述模仿周围的事物、并用它们来构造自己的想象之后,他开始奇怪这些事物为什么是这个样子的。当他以这样的思维来看待周围的事物时,他开始发现一些看似不同的事物之间共有的规律。发现一些组成大千世界的基本图形,开始像搭积木似的用这些基本图形搭建真实世界的模型。几何学应该就是人类儿时搭建的关于这个世界的最简单最基本的模型。古希腊泰勒斯把埃及的地面几何学演变成平面几何学,发现了许多几何学的基本定理并将几何知识应用到事件中去

这个孩子已经能结结巴巴表达自己的观点了,而且为了让别人懂,他还会说出理由,借用客观存在的事物来证明自己的观点,他已经用了逻辑思维能力来在一定程度上推理。可以说,证明命题是希腊几何学的基本精神泰勒斯开创的命题证明的思想在在数学史上有重要意义,标志着人类对客观事物的认识从经验上升到理论,为建立几何的演绎体系迈出了第一步

关于“为什么”的问题越来越多,人类的好奇心总是这样旺盛。当人们已有的理论已经解释了很多很显然的问题之后,最让人关心的就是最根本的“为什么”了——世界为什么是我们看到的这样呢?它是由什么构成的呢?毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”,数是组成一切的基石。该学派着重研究了数与几何图形的关系、数与天体运行的关系,尤其在对整数的研究上有很多创新。后来,又有了喜欢悖论的埃利亚学派、主要以教授文法、逻辑、数学、天文、修辞、雄辩等科目为业,培养各方面人才的巧辩学派。

我想,那时候的学习才是真正培养人的素质与能力,开发人的智能,而非简单的传授知识吧。是否因为那时候的知识还没有这么多,所以需要的是创造知识的人大于应用知识的人,而现在相反呢?不是教育模式决定了人才类型,而是时代和社会的需求决定的?

 

                 (三)

当一个孩子对这个世界的经验已经在内心里成了一套他自己的理论——即使这个理论还很不完全,还有待改善提高。他会将自己的这套理论运用到生活中去。这样生活很多年后,他会发现,无论生活还是学习,他需要总结方法——失败的教训和成功的经验。科学发展到一定程度,也需要一个系统的体系把零散的知识和方法总结整理到一起。就好像一间房间,起初是空的,但当不断的往里面堆东西后,总有堆不进东西的时候,这时就需要整理一下,把不要的丢出去,要的摆放好。做完后,才又有了空间再往里继续放新的东西。Euclid就是那个“整理房间”的人。他把形式逻辑的公里演绎方法应用于几何学,从而完成了《几何原本》。

《几何原本》共13卷,含有23条定义,5条公理,5条公设,在此基础上,演绎出467个命题,内容含直线及圆的性质、比例论、相似性、数论、不可公度量的分类、立体几何及穷竭法等。为古希腊数学的经典之作,把以实验和观察建立起来的经验科学,过渡为演绎的科学,把逻辑证明系统的引入数学中。Euclid在书中采用的公理、定理都是经过细致斟酌、筛选而成,并按照严谨的科学体系进行内容的编排,使之系统化、理论化,超过了他以前的所有著作

  书中的用语很生活化,通俗易懂,乍看像孩子的语言,正如当时也正处于历史的孩童时期。渴望用有限的去归纳、描述所有的物质。但不随意,还是能看出严谨的思想。每条定义、公设或公理并不啰嗦,用简练的话语描述清楚了普适的道理。仔细看后又觉得不像孩子,像个老者的总结。描述对象还没有系统统一的代表,例如现在表述其中的一条公理就是:若A=BB=C,则A=C。还没有形成现在这样的规范。

 

那时还有原子论学派,从他们的观点中可以看出“微元法”的鼻祖,也可以看到物理中“还原论”的影子,可见,在最本源的地方产生出的东西可能发展出差异很大又相互关联的理论或学科。我们现代的每一点知识都可追溯到很多方面得来的灵感,一个点映射到最初产生的原因都是一个或多个面。我们看似很简单易懂的知识,都是经过了许多智慧的先人以及历史的时间积累才有现在看到的样子。

 

Euclid的《几何原本》两千余年来一直被公认为初等数学的基本教材,它的演绎形式和公理化方法被推崇为数学科学教育的典范和样板,影响一直持续至今。(同是相差不多的时代的经典,为何《论语》就失去了像《几何原本》这样的在教育领域里的崇高地位呢?我认为,首先和语言体系有关——《几何原本》大多是数学的语言,图形与数都是普遍都能理解的,所以在流传的时间和地域上都较之文言文的《论语》有优势;其次,《几何原本》中所建立的体系为后人所沿用且数学一直在发展也在不断应用于实际生产中,而《论语》作为中国先贤对人的精神层面上的教诲,要显得难于理解和运用于实际生活中一些,况且放之于以生存为目的的社会中时能带来实际效益的数学显然更为人们所喜爱。)

然而,古希腊数学也有不可忽视的局限性:

首先,不能认识无理数,更没有深入探讨无理数的本质,也不能克服无理数造成的困难和矛盾——从而导致了第一次数学危机。几何学是理论的、演绎的,而算术却是经验的、计算的,而算术和代数进展缓慢,使几何、代数、算术的联系被割断,造成数学中形与数的分裂,整体性不足。这不平衡的发展阻碍了数学的进步,直到解析几何和微积分的创立。

其次,希腊人把结构严密的数学(除数论外)仅限于几何,只研究直线和圆的几何。由于当时认识水平,他们认为,数学的概念必须是逻辑上不自相矛盾的,这就要求数学概念在直观上是存在的,而为了证明这种存在性,他们就把几何局限为能用直尺和圆规作出的图形,这在一定程度上限制了数学的进步

由此,是不是可以发出这样的疑问:是不是没有哪一门学科能完全独立于其他学科而有长足的发展?不仅仅是数学,包括后来的物理学的也是这样,力、热、光、电等都是相辅相成的发展着的,没有哪一门的研究是会长久领先于其他的。总之,当时数学发展的严重不平衡,但在整个历史进程里看,总要有一门学科先于其他学科的发展,并不是所有学科都是齐头并进的。这个发展的先后顺序就和人成长过程中的认知水平的发展、思维模式的转变有关。纯几何学是最直观的、也是最“简单”和“美”得最明显的,自然就会先于其他数学的发展了。

 

         (四)

欧式几何与非欧几何

最主要的区别在于公理系统中采用了不同的平行公设。Euclid体系下绝对的“平直”的空间主要体现在平行公设中即在平面上过直线外一点只能作一条直线与它平行。17-18CNewton力学就是建立在这种空间观念之上的。直到18C在航海中,人们发现地面是弯曲的。1819C随着交通运输业的发展等生产和社会实践的发展和需要,人们对空间的绝对“平直”产生了怀疑,逐渐形成了新的空间概念。

当一个人从没有游过泳时,即使听过很多很多人说游泳的乐趣和感受,即使他对这样的描述已经听腻了,嘴上不停说“知道了”,但他也不是真正的“知道”。没有体验过的经历永远只能“明白”而非“理解”。就像18C之前的人们,没有发现地面是弯曲的,又怎么可能会对绝对“平直”的空间产生怀疑?怎会去想象新的空间概念呢?观测水平和手段即我们看待这个世界的角度和方法才真正决定了我们的理论。而之前的人,不会怀疑直觉,也理解不了自身的局限性。

 

         (五)

《几何原本》的特点:

一、 内容是抽象的;(研究对象都是抽象的命题和概念,探讨的只是命题或概念之间的逻辑关系,不讨论它们与社会生活之间的关系或这些数学模型所产生的现实原型;撇开研究对象的具体内容,仅保留空间形式与数量关系;每一次抽象都是理性思维的结晶,体现了当时人类思维的最高层次。)

二、 公理化方法;(公理学研究的对象、性质和关系成为“论域”,这些对象、性质和关系由初始概念表示。这种公理学是对经验知识的系统整理,公理一般具有自明性。)

三、 封闭的演绎体系。(不仅知识,《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题,因此对社会生活的各个领域来说它也是封闭的。)

 

牛顿承袭了欧几里德的思想,用简单化的眼光看世界,从公理的角度,将欧式几何中那些不言自明的公理从几何上、数学上推广到了物质世界,给那些数学符号赋予了实在的物理意义。同样也认为物理世界是由几条不言自明的公理所决定的,从这些最基本的公理,可以推导出很多定理,利用这些定理、公式,能由一个确定的状态推理出其他任意时刻的状态。把欧式体系的几何中的逻辑推理,推广到物质的运动状态从一个时刻到另一时刻的推理,把时间和空间联系在了一起。

和欧几里德一样,牛顿的最大贡献并不是发现了某条规律,而是建立了一个系统的知识体系,并分别为数学和物理学提供了一套有效的学习研究方法,给这两个“房间”腾出了许多空间以供新的发展。

             

 

P.s:文中斜体字为引用各种书中的话。

 

“二把刀”老师观点:

       将《几何原本》与《自然哲学数学原理》对比研究,是为了强化“公理化”(axiomatic)思维。“公理化”是近代科学构建知识体系的基本思路,源自基础主义(foundationalism)的认识论,其传统上启欧几里得几何学下及相对论与量子力学(主要是冯·诺依曼表述的基于希尔伯特空间的量子力学)。

     对L而言,从“公理化”角度重构所学物理知识,有利于梳理清楚各个基本概念和规律之间的逻辑关系,建立严谨的知识体系,并在各个体系基础上吸收新的知识。

      L是否真正愿意且能够接受“公理化”思维,“二把刀”并不关心(就像吴文俊院士指出的那样,公理化并不是最好的方法)。但她极其随意的引用行为,令“二把刀”十分无奈!

 

L同学所选题目:

 

题目2:两列同相、同频、同幅且振动方向相反、转播方向相同的简谐光波在相同介质中(不妨设为真空)相干叠加后的情况分析

 

要点提示

请分别在机械横波、经典波动光学、Maxwell电磁理论及量子力学Born概率波4种理论模型基础上加以分析讨论。

 

主要参考文献

现在使用的普通物理教材(力学、电磁学、光学),推荐使用赵凯华版大学普通物理学教程

 

难度情况:中

 

光在几种波的模型之下

——对同一现象中的不同研究对象的讨论

                  L 2011-1-16

 

一、 机械波

可以建立一种等效模型——假设有一条轻质弹性绳,一列简谐波在通过绳上的每个质点的振动传播。

以正在波上的某一质点为研究对象,它所具有的能量(即机械能)就以动能和弹性势能的形式存在。当它位于最高点时,它的势能动能均最小(为零);当它位于平衡位置时,它的势能动能均最大。整个一个周期中,它的机械能(动能与势能之和)不是分布均匀不变的。

以正在传播的某一个波为研究对象,它的波峰所具有的动能为最小(为零),同时弹性势能是最大;而它的位移零点的弹性势能最小(为零),动能为最大。整个一个波中,它的机械能的分布是均匀不变的。

同样是对同一列波的研究,为什么会有两种不同情况的机械能分布呢?这是研究对象的不同所造成的。前者是振动的质点,它的弹性势能与和它相邻的质点的相互作用有关,它的动能与它本身运动的速度有关;而后者是一列波上的某一点,它的弹性势能与它回复到平衡位置的能力有关,它的动能是与波的运动有关。

换句话说,质点振动是微观的,而波的传播是宏观的。此时,研究单个质点的一个完整的周期振动过程(一个空间点+一段时间)是否是机械能守恒的是没有意义的;而一列波的一个完整波形的运动过程(一个时间点+一段空间)才是机械能守恒的。

故当两列除了振动方向相反外其余条件均相同的波叠加后,波动现象消失——整个波的叠加和“消失”过程是以一段时间为前提的而非瞬时(一个时间点)就完成的。所以要研究这个过程中的能量变化情况要从微观角度入手:每个质点的振动动能都转换为了弹性势能(等于总的机械能),于是整个过程中总的能量还是没有变,即机械能守恒。

 

 

二、 经典光波

凡是有一定的物理基础的人都知道,只要是同频率、存在平行的振动分量和相位差恒定的两波均能产生干涉。有一个很著名的光波干涉实验——双缝干涉实验,就能在屏上接收到明暗相间的条纹,这成为了大多数人对干涉现象的一个最直观的理解。这种光强围绕着一定数值(强度)的往复变化也是一种振动。两波迭加的实质是光强的重新分布。也就是说,两波迭加前分别打在屏上的总能量之和与它们迭加后打在屏上的总能量是相同的,从这个角度上说,总的能量守恒。

而屏上的任意一点(无论是明是暗),都是两列单独的波相迭加产生的,即屏上的一点对应两列光波。单就这两列光波来看,若相干增强了,则迭加前的能量小于迭加后的能量;若相干相消了,则迭加前的能量大于迭加后的能量。那在这个过程中能量就不守恒了吗?

前面所讨论的是整个屏上的光强分布变化,而之后所讨论的则是屏上某一点的明暗产生的过程的变化。而光的干涉研究的并不是单独的两列波的迭加,而是两束光(包含了无数的波)的迭加。只有把许多波看成是整体(宏观上)才会有“光强的重新分布”,也就是说只就研究单独的两列波(微观上)的干涉或迭加前后是否守恒是没有意义的。就像研究前面说到的机械波上的某一质点在它的一个振动周期内是否机械能守恒一样。

故当两列除了振动方向相反外其余条件均相同的波叠加后,波动现象消失——在经典光波的背景下讨论整个过程是否能量守恒是没有意义的。

 

 

三、 电磁波

随着电磁学的发展,光本身被认识到时原子中的电子以非常惊人的快速振荡所产生的电磁扰动在空间的传播。①(费曼物理学讲义1

现在来考虑这样一个情况:在只有一个单位正电荷(位置固定不变)的一片空间中,把一个点电荷固定在某一个定点,此时,点电荷所具有的能量只有电势能,即只和它到正电荷的距离有关。现在,再在这个空间中放入一个单位正电荷,固定它的位置使之前固定的点电荷位于两单位正电荷联线的中点。做完这些后,点电荷的能量发生了改变,电势能变为零。若单独看这前后两个不同的能量的情况,好像能量不守恒似的。但在把第二个单位正电荷移入系统的过程中,正电荷的移动也就使系统中电场分布发生了变化,而这个变化的过程本身就耗了能量,这个过程不能忽略。

同样的,考虑两列光波(电磁波)迭加干涉的前后能量变化的问题时,不能忽略迭加前后电磁场分布改变的过程,因为这个过程中就有能量的变化。应该把迭加前的总能量与迭加和迭加后整个过程的总能量相比,这时会发现总能量还是守恒的。而只研究迭加前后能量是否相等就如同研究机械波中的某一时刻的机械能与另一时刻的动能是否守恒一样没有意义了。

 

 

四、 概率波

恩认为:物质波并不像经典波那样代表什么实在的物理量的波动,只不过是能体现粒子性的空间概率分布的概率波而已。

这句话意思是:电子、光子的波动不是真的波动,而是假的。电子、光子并没有波动。电子、光子的波动,并不是指运动方式——波形运动,也不是物质(光子、电子、质子)在空间分布呈现波形,而只是物质(光子、电子、质子)在空间分布概率统计图呈现波形,所以称之为:概率波②(《揭開能量的神秘面紗》 李青梅著

当两束除了振动方向相反之外其余均相同的光分别打在屏上与它们发生干涉在屏上形成干涉条纹的情况相比,用概率波的观点来看,不同在于光子打到屏上一定点的概率发生了变化,即可理解为是在屏上的概率重新分布了。与经典光波理论相似的是,这种“重新分布”不能单就某列波或某个光子来讨论,是一种整体的变化。因此考虑能量变化时也不能单就两列波来讨论,只能以两束光的整体情况变化来讨论。各处的概率相加总是等于一的,这就保证了能量在整体范围内是不变的,也就是说总能量在干涉前后是守恒的。

 

“能量守恒”不是就某一种形式的能量而言的,不同形式的能量之间是可以相互转换的。所以,要利用能量守恒这个条件首先要明确研究的对象,一个系统包含的所有需要考虑的对象。因为就同一现象对单个不同的研究对象讨论往往会有不同的结果,而对整体而言即使是不同的现象也会有一些相同的(不变的)结论。

 

“二把刀”老师观点:

这个题目据说是北大赵凯华教授提出的。我以为这个问题的关节在于:光波的叠加原理存在隐含适用条件,即光波的叠加具有“定域性”(locality),而题目叙述的光波具有“非定域性”(nonlocality)。故而,除在机械波模型框架下分析较简单外,其余情况都容易陷入含混不清的境地,但无论如何理解分析,都不能违背一条底线——能量转化与守恒定律。

 

L同学所选题目:

 

题目3:一枚硬币自由下落,哪面朝上被认为是随机的。如果给出全部初始条件,比如下落时硬币的高度、角度,空气的流速、湿度,地板的弹性系数,及其相关方程,你是否相信(认为),硬币最终哪面朝上可以计算被出来——则一个随机事件就变成了一个可预测的事件?(北京大学,田松)

 

要点提示Newton力学的因果关系、概率论(注意“频率近似”)以及Poincare的内禀随机性

 

主要参考文献

力学或电磁学、电动力学教材(狭义相对论部分,光速问题与因果律)、概率论教材(论述几种基本概型部分)等

 

 

硬币中的世界

日常生活中,我们往往面临着各种各样的选择。有些事,可以果断的决定,而有些小事却常常难以抉择。我们很多人面对这样无法选择的小事时,都会用一个简单的方法来决定——抛硬币:正面或反面朝上对应着一件事做还是不做。且不论这种做决定的方法是否足够科学理智,单就抛硬币这件事本身而言,人们(至少是绝大多数人)都认为是公平的,这种“公平”是指得到两种结果的可能性相等。

看起来,“抛一枚硬币得到的两种情况(不考虑其它更为特殊的情况)的概率是相等的”是毋庸置疑的,因为我们从最开始学习概率方面的知识时,抛硬币总是最经典的一个例子。而只需要仔细多想一点便会知道,这种相等只是一种近似,不是完全的一半一半的相等。为什么抛N次硬币得到的正面和反面的次数几乎不会刚好相等等于N/2呢?不错,若只考虑硬币本身,那么抛N次硬币得到的正面和反面的次数必然会刚好相等等于N/2,但是,在抛硬币这个事件中同时与硬币存在的且对其有影响的还有环境的因素,还有落地时硬币的高度、角度,空气的流速、湿度,地板的弹性系数等。那么,是不是只要我们很清楚的知道了落地时硬币的高度、角度,空气的流速、湿度,地板的弹性系数,及其相关方程,硬币落下后是正面还是反面朝上就可以算出来了呢?那抛硬币的结果就从之前的随机事件变成了可预言的必然事件了吗?

理论上,若能知道一切影响硬币的环境因素则可推知出此“随机事件”。我们设所有的这些因素的集合为A。而A当中又有两种——随机的和必然的。在我们讨论的这种情形下,A中几乎都是随机的。那么,要确定A的值就必需要知道影响A的一切因素和相关方程。再把这些因素的集合称为B,那么B中也同样有随机的和必然的两种,所以还要知道所以影响B中的随机因素的因素C,而C中又有随机的……如此一来,要确切的知道硬币抛掷情况的所需因素便无穷无尽了。

可关键是观测条件等的限制使我们不可能得知一切的因素,之所以成为“随机事件”就是因为我们不能掌控所有的影响因素,而那些“可预测”的事件之所以可预测是因为影响它的因素是有限且都在我们的掌控之中的。

这样看来,我们要想在现实世界中精确的预测一枚硬币的抛掷情况是不可能的了。

 

再回到物理世界里,回到量子物理萌芽之前的时代。现在,我们可以再把刚才所说的“预测硬币抛掷情况”的实验在理想条件下做一遍,是不是会得到完全不同的结果呢?在理想条件下(确切地已知一切影响因素及其方程)做的这个理想实验建立了一个怎样的理想模型呢?假如实验结果是硬币的抛掷情况确实可以被我们精确预测,那这个实验就向我们揭示了“随机事件”可向“必然事件”转换,或者再推广开去,也就不存在什么不可预测的“随机”了。而“所谓理想实验,就是所有的初始条件和最终条件都完全确定的实验①”。这显然与现实中的情况有很大的矛盾。

物理学家研究这个世界,必然只能有选择的根据需要研究。所以会建立“理想模型”,并通过它揭示自然规律。然而,当一个“理想模型”揭示出的规律与自然中的相悖时,显然这就不是一个可取的能有效描述世界的模型,需要修改甚至舍弃。

那我们就来看看之前建立的那个“理想模型”有哪些需要修改的地方。首先,要说一下“机械观”: 宏观物体在空间的位置变动称为机械运动。在物质的各种运动中,机械运动时最常见的,也是人们最早认识的,同时它也最早上升到理性,最早系统化。在牛顿力学创建之前,机械观就出现在了西方各国。机械观的鼻祖笛卡尔就说过“给我广延和运动,我就能创造一个世界。②”牛顿力学的建立,让人们更加了解了物体运动的规律,并通过运动定律(公式)和任一时刻的已知运动状态可推导出任意时刻的运动状态。于是,这种能“预言”运动状态的牛顿力学应用于工业生产中大大推动了生产力的发展,也受到了欧洲大陆一些优秀数学家的青睐得以迅速发展。还有后来发展出的分析力学等巩固了机械观的地位。

 机械观的特点有:

1、 物质的粒子性;

2、 运动的决定性(可精确预言,机械决定论);

3、 时间的绝对性;

4、 作用的泛力性(几乎所有的物质间的作用都是“力”)。

这必然会导致外因论,而物质运动也只有量变而无质变③。

这里不得不提到长久以来经典物理学科与生命医学类学科最本质的观念上有关确定性等的矛盾,那时两类学科的研究者们通常对对方存在一些偏见——物理学家认为生物学家和医生是不能称为科学家的,因为后者的研究有着太多不确定的因素;而后者又往往觉得前者过于严谨甚至是钻牛角尖的。这是与经典物理学和生命科学的学科特点有关的。经典物理注重“量”,而生命科学注重“质”。而在实验中,“量变”往往是由人为控制的,而相比之下人对“质变”却有些束手无策了。在研究者的信仰中,便有了对研究对象“可控制”与“不可控制”、“能无限了解”和“了解永远有限”的差别了。

但随着时间的推移,量子学说和狭义相对论的提出使物理学迈向了高速、微观和宇观层面,暴露了牛顿力学的局限性。物质的波粒二象性以及由此而生的量子力学最彻底的冲击了机械观。量子力学放弃了粒子运动的轨道概念,因而也放弃了机械决定论。但一些老的物理学家却坚持在微观世界中保留传统的决定论,即为新机械观。新机械观又指生物学中的机械观或还原论(生物学最终将还原为物理学和化学),其对立面是“生机论”和“活力论”④。

 

进入量子力学中,在我们的实验安排里(即使是能做出的最好的一种安排)不可能精确预言将发生什么事,我们只能预言可能性!物理学已放弃了去精确预言在确定的环境下会发生的事情。唯一可以预言的事种种事件的概率⑤。在这里,硬币的抛掷结果不可能通过任何一种方法精确预言,只能预言出现不同结果的概率。量子力学的基本原理就是“不确定性原理”。而量子力学中的“不确定性”又与生物医学里的“不确定性”有差别——生命医学中的不确定性是由于生命的复杂机制和一种现象有可能对应多种原因从而很难找到确切造成这种现象的原因;而量子力学里,我们必须按一种特殊方式思考问题,即观察者不再独立于观察对象,而观测本身就会影响甚至改变观察对象,从而有了一种在观测上无法逾越的障碍使观察对象无法被确切的观测。所以,在量子力学中,即使可以罗列出所有影响硬币抛掷情况的因素并均可观测,但只要有了观测的行为就已经使被观测的因素发生了改变。也就是说,我们是不可能观测到真正影响硬币的因素的。

那么,在讨论经典力学中的那个“理想模型”的问题究竟在哪呢?如果认为是因为经典力学本身就是有错误的,那是不对的,因为在经典力学的框架之下建立的许多模型都是合理的。我们不能精确测量的并不先验地意味着我们不能谈论它们,而只是意味着我们不必谈论它们。知道哪些观念不能直接检验总是好的,但是没有必要将它们完全去掉。认为我们只利用那些直接受到实验制约的概念就能完全从事科学工作的这种看法是不正确的。确实,就经典观念而言,如果我们知道了世界上的每个原子的位置和速度,那么就应当能精确的预言会发生什么。因此经典的世界是决定论的。然而,假定我们的精确度有限,而且的确不知道一个原子的确切位置,那么这个原子运动时会撞上别的原子,撞后的位置误差增大了,而在下一次碰撞时,误差又被放大,这样,如果起先只有一点点误差的话,后来就会迅速放大而出现很大的不确定性。因此,从实际的观点来说,在经典力学中也早已存在着不确定性了⑥。

  说到底,并不会在不同力学框架下硬币抛掷结果有随机性和必然性两种不同的可能,而是不确定性使它在不同力学框架下均是随机的。所以,我们常常把“不确定”和“随机”联系在一起。我们也把“不确定的”“随机的”称为“偶然的”。

  庞加莱在《科学与方法》中关于偶然性的阐释或许能让我们对今天探讨的这个硬币问题有更好的理解。他认为有几种情况是我们无法预言的即看上去是偶然性的:

  一种是我们觉察不到的极其轻微的原因决定着我们不能不看到的显著结果,即小因造成大果。例如气象预报很困难;

  一种是原因上的巨大差别对应结果上的微小差别,即大因造成小果,而一个原因往往只能造成一个结果单看似一样的结果(差别太微小以致无法区分)却由多个原因造成;

  一种是太多的小因素的积累是原因变得太过复杂,每一个小因对应的一个小果积累相互影响使结果也变得复杂不可预测;

  还有一种是两个毫不相干的必然(可预测)事件发生了相互作用,因为本是毫不相干的,于是这种联系就变得很复杂(看上去是偶然的),而彼此若在初始条件上发生一极微小的改变都足以使它们不发生联系。

  正是对事件的操作的复杂性导致了事件的不同结果的概率趋于均匀,但知道概率分布并不等于知道了产生这样的概率的原因。另外,偶然性与随意性不同,前者还是受各种或大或小的规律的支配,而后者则是不受什么支配的。

 

  可见一个随机的结果虽然是不能精确预言的,但对产生它的所有因素而言它的出现又是必然的。而我们又是不能完全掌握所有的因素的。从另一方面看,这也反映了作为人的局限性,我们不可能运用任何技术将随机事件的结果精确预言,主要是有两大方面的障碍我们无法逾越:一方面是观察上的限制,我们的测量永远会有误差(系统误差和随机误差)使我们测到的不是真实的值或者我们的测量过程就会对被测物产生影响使我们测不到测量之后的值;另一方面是分析上的限制,我们几乎不可能将所有影响实验对象的原因分析到尽头,也就是说真正完备的分析是永无止境的。

  对我们来说要掌握随机事件只是一个虚无缥缈的梦。若真有一个那样的世界,那么在那个世界里,也就没有人用抛硬币来决定问题,不会出现彩票,不会有意外的灾难,同样也没有意外的惊喜;在那里,人可以知道一切,可以决定一切,可以随意改变一切,等一下,那“随意”也不会存在了!我们无法想象,那样的世界会是如何单调乏味,但是,我们可以想象,因为有了各种我们无法掌控的随机事件,我们的世界才如此五彩斑斓,我们人才会有喜怒哀乐,我们的生活才会酸甜苦辣咸五味俱全!能靠抛硬币来做决定真是一种幸福。

 

 

 

参考文献:

①、⑤、⑥:《费恩曼物理学讲义(第一卷)》,上海科技出版社,2010;

②、③、④:《欣赏物理学》,王泽良编著,同济大学出版社,2006.

其他:《科学与方法》,昂利-庞加莱著,商务印书馆;

     《力学(第二版)》,高等教育出版社,2005.

 

                                                            L

                                                          2011-3-3

 

“二把刀”老师观点:

这个题目来自田松老师的科学网博文《现代科学概论2010年期末作业题目》(http://blog.sciencenet.cn/blog-309667-400218.html )。期望通过这个题目,让L辨别动力学方程与概率统计的物理背景,区分经典概率(实验科学中的频率近似概型)与内禀随机性的细微差别。遗憾的是,L仍然没有足够文献意识与引用规范。

 

L同学所选题目:

 

题目1束星北教授在讲授天体轨道时曾提问“月球与太阳之间引力大于月球与地球之间引力,为什么月球绕着地球转?”请作具体分析。

 

要点提示: 理论力学、机械运动相对性

 

 

 

关于月球运动的讨论

               L

在讨论“月球与太阳之间引力大于月球与地球之间引力,为什么月球绕着地球转?”这个问题之前,我们先要达成两点共识:一、以太阳为静止参考点。因为若太阳不是静止不动的,那么开普勒定律就只能是近似的,而开普勒定律恰恰是我们的讨论中一个重要的依据。且太阳是否静止与我们要讨论的问题关系不大;二、在讨论中所有天体间的相互作用都只有有心力作用,也就是说,每个天体的轨道都分别在一个平面内,即都是二维运动。因为若考虑轨道平面发生变化的情况将会复杂很多,且与主题也无关。

现在开始讨论:

(Ⅰ)把太阳、地球和月球都视为质点即均不考虑自转,且三者不受其他除了这三者的任何物体的作用。

将地、月视为一整体,一起受到太阳引力而绕太阳公转。

由于地日距离的平均值为14 960万千米,而地月距离38.4万千米,且习惯上日月距离基本可以按地日距离计算,故可将地、月视为一整体来看,地球与月球构成一个质点组,且此质点组的质心在地月连线上。由质心运动定理可知,此质点质量等于地月质量之和,作用在此质点上的力等于太阳对地球的力和太阳对月球的力的矢量和,且此力会通过质心指向太阳,即质心也会绕太阳公转。故不论地月间的作用力如何或地月如何相对运动,它们作为一个质点组都绕太阳公转。从这个角度上说,“月球绕太阳转”这一点不会因为地球而改变。

将月球与地球分开看,月球除受太阳引力而绕太阳转之外还受地球引力绕地球转。

单独看月球,若它只受到太阳的引力或地球对它的引力比太阳对其的引力小到可以忽略,那么就月球就只绕太阳运动。而太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为2.2,故地球对月球的作用不可忽略。分解月球所受的合力,可分为所受地球的引力和所受太阳的引力,故月球的运动也可看作是绕地球转动和绕太阳转动的复合运动。因此,月球同时既绕地球转又绕太阳转,这并不矛盾。就好像本轮均轮说中的行星,既绕本轮的圆心转,同时又绕着均轮的圆心转。

 

 

“二把刀”老师观点:

这个题目来自程开甲院士对其老师束星北教授的回忆(《束星北档案》,这本书被中山大学关洪教授批得很厉害。但无论怎样,这道小题目还是很有趣的!)。一个基本概念清晰、基础扎实的高中生(实际中,似乎这样的高中生已经凤毛麟角了)也能充分理解,不至于陷入迷茫。L把这个问题联系到了托勒密的本轮均轮模型令我很惊喜,她似乎“隐约”注意到了不同数学模型的物理意义极其使用条件。故此篇虽短,却是唯一比较满意的一篇。

 

 

 

 

 



https://blog.sciencenet.cn/blog-217073-802123.html

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4 王春艳 钟炳 强涛 Veteran11

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