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PRL前沿：网络圈动力学的拉普拉斯特征向量表示
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PRL前沿：网络圈动力学的拉普拉斯特征向量表示
导语
寻找网络中的关键节点和边是网络科学中的一个基本问题。圈结构作为沟通高阶网络和普通网络的桥梁受到越来越多的关注。是否可以提出一个排序算法衡量圈结构的重要性？近日发表于PRL的这篇文章提出，Fiedler值（Laplacian 矩阵的次小特征值）是网络一致性动力学中的重要指标，越是重要的圈结构对网络动态行为贡献越大。
关键词：复杂网络，圈结构，网络动力学，排序算法
陆君安、周进、蒋思杨 | 博文作者
论文题目： Searching for Key Cycles in a Complex Network, Phys. Rev. Lett. 130, 187402 (2023) 论文地址： https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.130.187402 论文作者：蒋思杨、周进、Michael Small、 陆君安、张妍琪
图1 一个连通图的生成过程
接下来，我们给出网络中圈的重要性排序。圈的重要性受长度及位置影响，如何给出某一指标同时包含这两个信息？这篇文章利用网络动力学和矩阵特征值扰动理论 [6]，导出衡量网络中的圈在网络动力学中重要性的新指标，它完全由 Fiedler 向量x2(G) （Fiedler值对应的特征向量）的分量决定。设网络有k个圈Ci(i=1, 2, …k)，对圈Ci的所有边施加扰动ε，扰动后Fiedler值的一阶改变量为：
我们认为越敏感的圈越重要，越容易影响网络动力学。进而，我们给出圈重要性的指标值（指标值越大圈越重要）：
，
我们可以看到圈的位置优势由Fiedler向量分量决定，圈的长度优势由求和项数目决定。指标值有双重的含义：(1) Fiedler值随圈权重变化的初始斜率（见图2）。(2)由 Laplacian谱理论知λ2=∑p, q∈E'(xp-xq)2，E'为网络中的所有边。可见网络中所有边的贡献总和为Fiedler值；而圈中边的贡献总和为指标值。一个是圈的未来贡献趋势，一个是圈已经产生的贡献，都可由指标值刻画。我们在图2中给出一个网络中圈的重要性排序结果，有趣地发现位置好的小圈会比某些大圈更重要，如长度为3的圈C3比长度为5的圈C4更重要；并且排序随圈权重的增加基本上是稳定的（从这6个圈的敏感性排序可以看出，虽然理论上要求ε＜＜1，实际上ε从0到4， ICi排序基本上是稳定的）。此外，排序结果能应用于边自适应牵制控制同步 [7]（自适应增加边组的权重来促进同步），如图3可见控制效率与排序结果一致。
图2 一个含有6个圈的网络以及Fiedler值随圈权重的变化图
图3 牵制控制不同圈的同步效果
最后，我们在图4中研究了秀丽线虫新陈代谢网络的重要三角形分布，发现节点56是关键节点，它与其他分量的差值较大。关键节点和关键圈之间可能存在着深刻的关系。此外，不重要的三角形往往是低度节点连接的三角形，但重要的不一定由高度节点连接产生。这些发现为实际应用提供了一些潜在信息。
图4 线虫新陈代谢网络的三角形分布情况（前5后5）
陆君安：武汉大学数学与统计学院二级教授、博士生导师。在复杂网络同步控制和识别、多层网络、非线性动力学、混沌及应用数学相关领域取得创新性成果，发表学术论文260余篇，引用10000余次，合著4部，H指数47。2014至2019年入选爱思唯尔(Elsevier)中国高被引学者榜（数学类）。曾获2008和2016年度国家自然科学二等奖、2007年度教育部自然科学一等奖、2013年度和2006年度湖北省自然科学一等奖和二等奖、1996年度国务院政府特殊津贴。
周进：武汉大学数学与统计学院教授，博士生导师。主要研究方向为多层网络、高阶网络、同步、控制、非线性系统等等。在SCI、EI发表学术论文50余篇，其中第一或通讯作者论文44篇，包括物理学顶刊Phys. Rev. Lett.，控制学三大顶刊IEEE Trans. Automat. Contr. (长文和短文)、 Automatica 和SIAM J. Control Optim. 论文被国内国际引用总计2562次，单篇论文引用前两位分别是738次和639次。曾获国家自然科学二等奖、湖北省自然科学一等奖、教育部自然科学一等奖、全国优秀博士论文提名及湖北省优秀博士论文，主持国家自然科学基金项目四项。2021年在“集智俱乐部”组织的第二期和第三期复杂网络课程中，分别做了题为“复杂网络的同步”和“多层网络及其动力学”的专题讲座。
蒋思杨：武汉大学数学与统计学院2021级硕博连读研究生。主要研究方向为网络重要性结构识别、复杂网络同步控制、高阶网络等。
https://blog.sciencenet.cn/blog-211414-1387967.html
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