证明：函数u=1/r在原点O的去心邻域之外的空间内是调和函数，其中，r=sqrt(x1^2+x2^2+x3^2) 为空间点x=(x1,x2,x3)到原点O的距离（笛卡尔坐标系下）。

要证明原点O之外的某个区域中u是调和的，即 divergent (gradient (u)) = 0，  x belongs to a closed space without the origin  
最普通的方法得累加二阶偏导（按调和函数定义）。
如果联系u=1/r的具体物理背景，我们会发现根本不用任何数学计算也可以证明，虽然下面的叙述可能比较繁琐！


divergent, 散度，矢量的散度和流量有关
gradient，梯度，标量的梯度和某种势有关

gradient(u)=gradient(1/r) ，类似于重力场的重力势以及静电场的电势的梯度

若在空间球坐标系下考虑，gradient(1/r)，仅和距离r有关，而与方位无关(各向同性)。gradient(1/r)，按定义是指向沿着1/r增大的方向，即从某点x指向原点O。我们考虑以原点为球心的两个同心球球面上的流量 （半径分别为r1和r2, 且r1<r2），即divergent (gradient (1/r1)) 和 divergent (gradient (1/r2)) 在两个球体的体积分  。按照高斯公式将球体积分integral (  divergent (gradient (1/r1))  ) 转换为球面积积分integral (  dot( gradient (1/r1), normal vector(spherical surface S1))  ) ，其中球面的单位外法向矢量normal vector(spherical surface S1)) 平行于r方向并指向无穷远， 类似方法处理球2 （半径r2，球面S2）。

gradient (1/r2) = (r1/r2)^2*gradient (1/r1)
球面面积S2=4*pi*r2^2=(r2/r1)^2*S1
=> 球体S1上的体积分（integral (  divergent (gradient (1/r1))  )） 与 球体S2上的体积分（integral (  divergent (gradient (1/r2))  )） 相等！！！

=> gradient (1/r) 通过球壳（r1<=r<=r2）的流量为0 （我们只考虑静态问题）， 即  divergent (gradient (1/r)) =   0
函数u=1/r在原点O的去心邻域之外的空间内是调和函数！！！


注记：
1 u=1/r, 这个函数大家肯定不会陌生：1 牛顿位势理论； 2 三维无界区域的格林函数。
2 简单的往往是最重要的，u=1/r 是调和函数
3 调和函数的线性叠加仍是调和的=>具有一定质量分布的物质对空间某点的引力势也是调和的