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模态命题逻辑——逻辑学笔记11: 热度 1 马耀基 2017-2-18 22:01; 1 、引言太阳是圆的，这是普通命题；太阳必然是圆的，太阳可能是圆的，这是模态命题。下雨地就湿了，这是普通命题；我知道下雨地会湿，这是模态命题。模态命题是包含模态词的命题，必然、可能、知道、相信、将来、过去等都是模态词。模态逻辑是研究模态推理的学科。从太阳必然是圆的，推出太 ...; 个人分类: 逻辑学|8185 次阅读|3 个评论热度 1

用集合构造算术——逻辑学笔记10: 马耀基 2017-2-15 23:26; 算术数学可以还原为算术，而算术可归结为皮亚诺系统的几条公理。皮亚诺算术系统： 1 、 0 是自然数 2 、 m 是自然数，则 m’ 是自然数 3 、 0 不是任何数的后继 4 、若 m’=n’ ，则 m=n 5 、数学归纳法： A(n) 表示自然数 n 有性质 A 。如 ...; 个人分类: 逻辑学|3731 次阅读|没有评论

命题逻辑的可靠性和完全性定理——逻辑学笔记9: 马耀基 2017-2-14 01:48; 前面介绍了命题逻辑系统，我们可以用它进行推理。现在的问题是，它的推理都是有效的吗？或者说，当前提为真时，它推理得到的结论都是真的吗？另一个问题是，用它能得到所有的有效推理吗？第一个问题叫可靠性问题：从 Γ ⊢ A ，能否得到Γ ⊨ A ？第二个叫完全性问题：从Γ ⊨ A ...; 个人分类: 逻辑学|8947 次阅读|没有评论

命题逻辑系统——逻辑学笔记8: 马耀基 2017-2-13 21:32; 引言我们在生活和工作中进行大量的推理。刚才有没有下雨呢，你打开门发现路面是干的，就知道没有下雨。你实际上已经进行了推理：如果下雨，则路湿。现在路没有湿，所以没下雨。孩子对妈妈说，如果明天放假我就回家，第二天孩子没有回家。妈妈推出孩子没有放假。上面是 ...; 个人分类: 逻辑学|7775 次阅读|没有评论

为什么1+1=2 ?——逻辑学笔记7: 马耀基 2017-2-11 16:04; 桌上有一个苹果，再放上一个苹果，那么一共有两个苹果。山上有一只绵羊，又来了一只绵羊，共有两只绵羊。我们从小就是通过各种各样这样的例子学会 1+1=2 。所以这个等式似乎是一个普遍规律。但又有这样的题目，什么时候 1+1 ≠ 2 ？答案很多：比如一滴水加一滴水等于一滴水。但我们认为这只是娱乐的题 ...; 个人分类: 逻辑学|3874 次阅读|没有评论

无穷集合之反对角线方法——逻辑学笔记6: 马耀基 2017-2-9 02:06; 前面说了奇数集、偶数集、自然数集、有理数集都是可数集。是否存在不可数的集合，或者说存在比自然数集大的集合呢？德国数学家康托尔首先解决了这个问题，答案是肯定的。下面就来证明自然数的幂集是不可数的。先解释一下什么是幂集。一个集合的所有子集所组成的集合就是它的幂集，比如 {1,2,3} 的幂集是 { ͦ ...; 个人分类: 逻辑学|5242 次阅读|没有评论

无穷集合之可数集——逻辑学笔记5: 热度 1 马耀基 2017-2-8 21:26; 我们从小就学会数数， 1 、 2 、 3 、 4 、 5 ……，能数出篮子里有多少苹果，天上有多少星星。如果一个集合上的元素，我们一个一个地数，每个元素或迟或早都会数到，我们就说这个集合是可数的。有穷集合肯定是可数的，这里只讨论无穷集合的情况。首先自然数集是可数的。实际上，我们有时把可数集定义为 ...; 个人分类: 逻辑学|11321 次阅读|3 个评论热度 1

无穷集合之集合的大小——逻辑学笔记4: 马耀基 2017-2-8 01:15; 我们知道有限的集合很容易比较大小，比如含 9 个元素的集合比 6 个元素的集合元素数更多。无穷集合比有穷集合元素的个数多，比如自然数的个数比中国人的数量多。但无穷集合之间怎样比较大小呢，自然数和平方数哪个更多？即 {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 …… } 和 {1 ， 4 ， 9 ， 16 ， 25 … ...; 个人分类: 逻辑学|8591 次阅读|没有评论

数学名字的逻辑性质——逻辑学笔记3: 马耀基 2017-2-4 23:42; 1 、我们给事物取名字，只是为了方便，具体取什么名字是无所谓的。我们实际上可以直接用数字给每个人命名，身份证号码就是这样。哥德尔在证明不完全性定理的时候，给数学符号数学命题都分配了号码，这就是它们的名字。此外，命题的序列也分配了号码。命题序列是指按顺序排列的若干个命题。数学证明可以理 ...; 个人分类: 逻辑学|2975 次阅读|没有评论

哥德尔定理科普的常见问题——逻辑学笔记2: 马耀基 2017-2-3 19:51; 太阳是三角形还是圆形的？光是直线传播还是曲线传播呢？我们通过观察实验就知道了。物理命题我们可以通过观察来判断，但数学命题呢？比如任何一个直角三角形，两条直角边的平方和等于斜边的平方。我们不能通过观察来确定，而需要证明。那是否对于任一个数学命题我们都能证明其正确还是错误呢？会不会存在某些正确的命 ...; 个人分类: 逻辑学|3351 次阅读|没有评论

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