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调和级数发散性的简短证明

已有 4985 次阅读 2014-10-3 05:24 |个人分类:教学与科研|系统分类:教学心得

定理  调和级数$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$发散.


证明 若不然, 令$S=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}<+\infty$, 则

\[\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}=S-2\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{2n}=S-S=0,\]

但这与

\[\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots>0\]

矛盾. 于是$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$发散得证.


类似可证: 若$0<\alpha<1$, 则级数$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^\alpha}$发散.



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