数学的理性和经验

欧几里得几何是公理化体系，在这个体系中给出了公设，在公设的基础上经过逻辑演绎形成了欧几里得几何的数学体系，公设是经验性的，并不是纯粹理性的，它只在一定的范围中是可信的，所以后来会出现非欧几里得几何

抽象代数是公理化体系，该体系中没有公设，而在定义基础上经过逻辑演绎形成抽象代数的数学体系。所基于的定义完全是理性的，由此逻辑演绎出的数学（抽象代数）是可信的。

公设是经验性的，所以它为数学发展带来了局限性。定义可以天马行空，为数学的发展开辟了无限空间。

事实上除了抽象代数，还有很多数学并不是建立在公设的基础上的，例如算术、代数、三角学、微积分、复变函数、泛函分析等等就是建立在定义基础上的。定义的对象可以是现实存在的也可以完全脱离现实的存在，因此数学才有了最广阔的发展空间，数学才可能成为虚拟的，虽然这类抽象的数学很多都与现实存在找到了对应的关系。

而刘徽数学正是在定义基础上逻辑演绎的。所以那种批判刘徽数学的逻辑演绎体系不是基于公理的观点是没有理解理性数学的真谛。

由此我想到了钱学森之问，还是想想我们自己吧。

中国古代的哲学家和数学家是杰出的，他们提出了数、无限、变数、极限的思想和概念，甚至应用于数学定理的证明。近现代的我们却没有在他们的肩膀上发展出微积分等现代数学，反而责怪祖先的数学是“有术无学”？！