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在近世代数学中,格论是群论的重要组成部分之一。群论系法国著名数学家伽罗瓦 于1890年创立。他提出了“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”等重要课题。而“伽罗瓦群”被公认为19世纪最杰出的数学成就之一。因此,研究格论要放在群论的大框架内。格论在解决群论的问题中已经成为“精力充沛的并具有光明前途的小兄弟。”它已经成为群论的一个子集。所以在近世代数中,只提群论、环论等。就连克莱因四卷本的《古今数学思想》也没提到过格论,这也就不奇怪了。
格论是抽象代数的分支之一,其研究对象为偏序集,即格及其代数结构。从序理论角度定义,格的非空有限子集都有一个上确界(称并)和一个下确界(称交)的偏序集合。从抽象代数角度定义,格是定义了满足交换律、结合律及吸收律三个公理的两个二元运算(交并)的集合。增加或削减其公理之后可得到全序集和偏序集。
格论在逻辑、计算机科学、物理学与工程方面有巨大应用,尤其是在分析它们的复杂系统和结构上。格论包括格对偶、格同态和同构、格乘积、分配与模格、完全格以及不动点理论等。
一般认为,格论是由美国数学家伯克霍夫于1940年正式出版的《格论》而正式确立。但是,谁发现了格则有两个始点和两条路线,有不同见解。始点之一是逻辑代数集大成者施罗德,他于1897年发现了格并从逻辑代数的角度进行研究,影响不大。后来经过学者的研究,在戴德金之前,施罗德已经从逻辑代数的角度进行了探讨。施罗德去世后,米勒编辑出版了其在1890到1905之间的《逻辑代数讲义》鸿篇巨制。其中施罗德不仅详细的讨论了抽象代数,而且还研究了格,也就是说,施罗德是第一位阐明格的学者。布拉德利的《从皮尔士到斯寇伦》(2000)一书中提到此事。
施罗德的三大卷《逻辑代数讲义》为布尔代数的做了全面的总结,乃至于美国逻辑史学家刘易斯说,应该叫“布尔-施罗德代数”,但是施罗德为布尔代数命名时,没有听取刘易斯的意见,直接将其命名为布尔代数,正是施罗德的贡献,香农后来才有了将其用于电路设计的可能,实际上施罗德已经预测到布尔代数可以用于电路设计,并做了相应的工作。
始点之二是德国的戴德金,他于1900年发表了对偶群的论文,其实戴德金在1894年就开始对理想理论的研究,其中便蕴含对偶群的观念,戴德金正是从对偶群开始对格进行探讨。戴氏的研究进路主要从对偶群推进,分了三个阶段。由于他没有嫡传弟子,退休后又远离数学活动中心,他的研究成果同样也未受到重视。
可以看到,格的首位发现者并非戴德金,而是施罗德。后来,戴德金在1900年研究偶群时发现格时,施罗德已经快去世了。但是,戴德金从数论的角度写了几篇文章后发现没什么反响。他便不再从事格的研究了。就连范德瓦尔登于1930年出版的二卷本《近世代数学》也没提到格。此后几十年时间没人再碰这个题目。
伯克霍夫于1940年写《格论》一书时,直接把布尔代数视为格论的起点,而非德德金的对偶群。伯克霍夫将布尔代数归为一个特殊子集,称布尔格,即有补分配格。这才是格论的主要思想脉络。与伯克霍夫同期从事格论研究的还有挪威数学家奥尔。他的工作侧重于图论并对格论研究有一定的推进。其工作受戴德金的理想论有较大影响。他曾与诺特共同编纂了《戴德金全集》,受戴德金对偶群的影响较重,而且他的证明方法得到了与戴德金类似的结果。加之奥尔兴趣广泛,未能将格论的研究进行下去,所以也未能成为主流。
伯克霍夫于1930年代做了一系列的工作。现在凡是讲格论的书,总是连带布尔代数。布尔代数的“全”与“空”,与格论的“并”(上确界)与“交”(下确界)同构。1938年4月5日,美国数学会在成立50周年时曾召开了首届关于格论的研讨会,正式确立格论为一门独立数学学科。研讨会涉及3个主题:
1、格论及其应用;
2、格论结构在群论中的应用;
3、布尔代数表达。
第三个主题与美国数学家斯通于1936年的工作密切相关。他于1936年取得一项重要成就,现在叫“斯通氏布尔代数表达定理”。斯通定理对布尔代数向拓扑学和范畴论的发展有很大的推进。尤其是它对量子领域有着基础性的应用。
从上个世纪30年代发端于法国的布尔巴基学派的角度看,格论完全合其基本主旨:
1、代数结构:由集合及其上的运算组成,如群、环、域、模、线性空间等。
2、序结构:由集合及其上的序关系组成,如偏序集、全序集、良序集。
3、拓扑结构:由集合及其上的拓扑组成,如拓扑空间、度量空间、流形、紧致集等。
因此又可将格论视为布尔巴基学派大家庭的一员。
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GMT+8, 2024-10-10 00:30
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