向钱伟长先生致敬

细环壳钱伟长方程的精确解

引言

今天是钱伟长先生的诞辰日，钱先生于1912年10月9日出生，其后半生最重要的学术贡献是关于环形壳体解析理论的系统研究，证明了级数解的收敛性问题并做了大量计算，对该科学问题做出了非常重要的贡献，同时也给后人留下了一些待解问题，如细环壳钱伟长方程的特殊函数表示问题，作者在此给出了这个问题的结果。继承发展是对前辈最好的纪念，在先生诞辰之日作者愿以此文向钱先生致敬。

环壳

环壳是中国现代力学的二位主要奠基人钱伟长和张维都做过系统研究的唯一的一种壳体。圆环壳形如救生圈或汽车轮胎，它是一种形状比较复杂的旋转壳，环壳是壳体理论中难度比较大的问题之一，钱伟长曾说“环壳理论有两个特点：方程复杂和求解不易”。 环壳问题难于求解的数学原因是环壳的基本方程是变系数的高阶偏微分方程，其系数是分数型的且分母在其二个几何顶点有“零点”即具有奇异性，由于在顶点两边的高斯曲率变号而使方程变性，是壳体理论中最复杂的问题之一。

德国的Hans  Reissner非常有名，有关黑洞的4个解中其中一个（角动量J=0, 质量M和电荷Q不为零）是他1916求得的，见论文  Reissner, H. (1916). "über die Eigengravitation des electrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie". Annalen der Physik (in German) 50: 106。另外，他的儿子Eric Reissner是大力学家，弹性力学的2变量变分原理就是由Eric提出的，后来中国的胡海昌和日本的Washizu推广到3变量变分原理。

有关环壳的最早研究是从Hans Reissner开始的，他指导博士生Gustav Weihs在1911年完成其有关环壳的博士论文(我们没有看到这篇论文)。Weihs在1911年分析了薄轮胎在承受旋转对称和非旋转对称载荷时的应力状态时，第一次用级数解对环壳的应力状态进行了分析。瑞士苏黎世联邦高等工业大学的Hans Wissler 在1916年利用Reissner-Meissner的旋转对称壳体微分方程系统地以级数的形式给出了在旋转对称载荷作用下环壳的弯曲应力状态解。他得到的级数解对于细环壳收敛较快，但对于粗环壳收敛极慢，无法在工程中应用。求解对于粗环壳全域一致收敛的解就变成了一个壳体理论难题，1944年张维在国际上第一次求得了粗环壳的一致收敛的渐进解。

由于环壳非常复杂，所以世界上研究它一般都使用复变量方程。本文作者首先导出环壳的位移型方程，系统研究了细环壳的弯曲、振动和屈曲，在世界上第一次得到这个问题的封闭解, 作为封闭解的应用修改了其中一个60年来国际工程届一直使用的膨胀接头的经典设计公式。

环壳方程和细环壳的解

[1] 钱伟长，应用数学与力学文集，江苏科技出版社，1979。

[2] 孙博华，环壳百年忆张维，力学与实践，2013, 35：94-97.

[3] Wissler, H., Festigkeiberechung von Ringsflachen, Promotionarbeit, Zurich (1916).

[4] Zhang Wei, Dissertation, TH Berlin, published partly in Science Report of Tsinghua University, Ser.A, Vol5.,289-349,1949.

[5] Bohua Sun, Closed Form Solution of Axisymmetric Slender Elastic Toroidal Shells, J. Engrg. Mech., Volume 136, Issue 10, pp. 1281-1288 (2010).

[6] Novozhilov, V.V., The Theory of Thin Shells, Noordhoff, Groningen, 1959.

[7] Zhang, R.J. and Zhang, W., Toroidal shells under nonsymmetrical loading, Int. J. Solids and Structures, Vol.1, No.19,1994.

[8] 孙博华，李群对称方法和应用，DOI: 10.13140/RG.2.1.2500.1685, http://www.researchgate.net/publication/282613969_Lie_Group_Symmetry_Methods_and_Applications

[9] Bohua Sun, Exact solution of some shells, The first int. conference on shells, plates and beams, Bologna, Italy, 2015.