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1-悖论佯谬知多少?
佯谬和悖论在英语中只有一个词:paradox,而在中文中这两个词的意思稍有不同,看起来中国人脑袋中的弯弯较之西人的确是多了一些。笔者喜欢这两个词的微妙区别,用它表明物理佯谬与数学悖论之不同恰到好处。
中文的“悖论”,一般指因为数学定义不完善,或逻辑推理之漏洞而导出了互为矛盾的结果。比如著名的“理发师悖论”。
传说有一个理发师,将他的顾客集合定义为城中所有“不给自己理发之人”。但某一天,当他想给自已理发时却发现他的“顾客”定义是自相矛盾的。因为如果他不给自己理发,他自己就属于“顾客”,就应该给自己理发;但如果他给自己理发,他自己就不属于“顾客”了,但他给自己理了发,又是顾客,到底自己算不算顾客?该不该给自己理发?这逻辑似乎怎么也理不清楚,由此而构成了“悖论”。
理发师悖论实际上等同于罗素悖论,英国哲学家及数学家罗素(Bertrand William Russell,1872年-1970年)提出的这个悖论当时在数学界引起轩然大波,或者称之为引发了第三次数学危机,因为那时的数学家们正在庆幸康托(G.Cantor, 1845年-1918年)的“集合论”解决了数学的基础问题,没想到这个作为基础之基础自身裂了一条大口。
数学的三次危机都可以说是与悖论联系在一起。第一次数学危机可追溯到古希腊时代的希帕索斯悖论,起因于研究某些三角形边长比例时发现的无理数,泄漏这个“怪数”的学者希帕索斯(Hippasus,大约公元前500年)被他的同门弟兄扔进大海处死。第二次危机则与芝诺悖论及贝克莱悖论有关,基于对无穷小量本质的研究,它的解决为牛顿、莱布尼茨创建的微积分学奠定了基础。因为毕达哥拉斯学派在淹死了希帕索斯之后,对错误有所认识,被迫承认了无理数,并提出单子,有点类似“极小量”的概念。不过,这个做法却又遭到了诡辩数学家芝诺一派的嘲笑,编出一个快跑运动员阿格里斯永远也追不上乌龟的“芝诺悖论”,令历代数学家们反复纠结不已。牛顿发明微积分之后,虽然在实用上颇具优势,但理论基础尚未完善,贝克莱等人便用悖论来质疑牛顿的无穷小量,将其称之为微积分中的“鬼魂”。
因为前两次数学危机的解决,建立了实数理论和极限理论,最后又因为有了康托的集合论,数学家们兴奋激动,认为数学第一次有了“基础牢靠”的理论。
然而,当初康托的集合论对“集合”的定义太原始了,以为把任何一堆什么东西放在一起,只要它们具有某种简单定义的相同性质,再加以数学抽象后,就可以叫做“集合”了。可没有想到如此“朴素”的想法也会导致许多悖论,罗素悖论是其一。因此,这些悖论解决之后,人们便将康托原来的理论称为“朴素集合论”。
实际上,集合可以分为在逻辑上不相同的两大类,一类(A)可以包括集合自身,另一类(B)不能包括自身。可以包括自身的,比如说,图书馆的集合仍然是图书馆;不能包括自身的,比如说,全体自然数构成的集合并不是一个自然数。
显然一个集合不是A类就应该是B类,似乎没有第三种可能。但是,罗素问:由所有B类集合组成的集合X,是A类还是B类?如果你说X是A类,则X应该包括其自身,但是X是由B类组成,不应该包括其自身。如果你说X是B类,则X不包括其自身,但按照X的定义,X包括了所有的B类集合,当然也包括了其自身。
总之,无论把X分为哪一类都是自相矛盾的,这就是罗素悖论(Russell Paradox),即理发师悖论的学术版。
还有一个与朴素集合论有关的悖论,叫做“说谎者悖论”(LiarParadox),由它引申出来许多版本的小故事。它的典型语言表达为:“我说的话都是假话”。为什么说它是悖论?因为如果你判定这句话是真话,便否定了话中的结论,自相矛盾;如果你判定这句话是假话,那么引号中的结论又变成了一句真话,仍然产生矛盾。
反正,上述这两个悖论导致了一种“左也不是,右也不是”的尴尬局面。说谎者悖论中的那句话,无论说它是真还是假都有矛盾;而罗素悖论中的集合X,包含自己或不包含自己也都有矛盾。朴素集合论产生的另一个有趣悖论“Curry’s Paradox”,与上述两个悖论有点不一样,它导致的荒谬结论是“左也正确,右也正确”,永远正确!
我们也可以用自然语言来表述“Curry’s Paradox”。比如,我给出如此一说:
“如果这句话是真的,则马云是外星人。”
根据数学逻辑,似乎可以证明这句话永远都是真的,为什么呢?因为这是一个条件语句,条件语句的形式为“如果A,则B”,其中包括了两部分:条件A和结论B。这个例子中,A=这句话是真的,B=马云是外星人。
如何证明一个条件语句成立?如果条件A满足时,能够导出结论B,这个条件语句即为“真”。
那么现在,将上述的方法用于上面的那一句话,假设条件“这句话是真的”被满足,“这句话”指的是引号中的整个叙述“如果A,则B”,也就是说,A被满足意味着“如果A,则B”被满足,亦即B成立。也就得到了B“马云是外星人”的结论。所以,上面的说法证明了此条件语句成立。
但是,我们知道事实上马云并不是外星人,所以构成了悖论。此悖论的有趣之处并不在于马云是不是外星人,而是在于我们可以用任何荒谬结论来替代B。那也就是说,通过这个悖论可以证明任何荒谬的结论都是“正确”的。如此看来,这个悖论实在太“悖”了!
以上三个悖论都牵涉到“自我”指涉(self-reference)的问题。理发师不知道该不该给“自己”理发?说谎者声称的是“我”说的话。“Curry’s Paradox”产生悖论的关键是“这句话”的语义表达中包括了条件和结论两者。看起来,将自身包括在“集合”中不是好事,可能会产生出许多意想不到的问题,那么,如果将自身排除在集合之外,悖论不就解决了吗?也许问题并非那么简单,但总而言之,这些悖论提醒数学家们重新考察集合的定义,为它制定了一些“公理”作为条条框框,从而使得康托的朴素集合论走向了现代的“公理集合论”。
上面浅谈的是数学中的几个简单悖论,数学中的悖论只和理论自身的逻辑有关,修改理论便可解决。物理中的佯谬除了与理论自身的逻辑体系有关之外,还要符合实验事实。打个比方说,数学理论的高楼大厦自成一体,建立在自己设定的基础结构之上。物理学中则有“实验”和“理论”两座高楼同时建造,彼此相通相连、不断更新。理论大厦不仅仅要满足自身的逻辑自洽,还要和旁边的实验大楼统一考虑,每一层都得建造在自身的下一层以及多层实验楼的基础之上。因此,在物理学发展的过程中,既有物理佯谬,也有数学悖论,可能还有一些未理清楚难以归类的混合物产生出来,也许这可算是英语中使用同一个单词表达两者的优越性。
还有值得注意的一点,数学史上的三次危机以及导致危机的悖论的根源,都与连续和无限有关,都是由无限进入到人的思维领域中而导致思考方法之不同而产生的。第一次是从整数、分数扩展到实数,虽然整数和分数也有无限多,但本质上仍然有别于(小数点后数字)无限不循环的无理数。第二次危机中的微积分革命导致对“无限小”本质的探讨,推导总结发展了极限理论。第三次危机涉及的“集合”,显然需要更深究“无限”的概念。
看来,的确如数学家外尔所说:数学是无限的科学。实际上“无限”的概念对物理学和其他科学也至关重要,宇宙(时空)是有限还是无限的?物质是否可以“无限”地分下去?存在“终极理论”吗?是否它只是无限逼近的一个理论极限?人类思维有极限吗?我们(细胞数目)有限的大脑,能真正想通“无限”这个问题吗?就像小狗永远也学不会微积分那样,有些东西对我们人类的大脑来说,是不是也可能是永远无法认知的?
不断地发现、提出、研究、直至最终解决悖论佯谬,这就是科学研究。科学中的悖论佯谬是科学发展的产物,预示我们的认识即将进入一个新的阶段。正如数学史上悖论引发的三次危机,既是危机又是契机,有力地推动了数学的发展,促进了人类的进步。
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