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今天在群里看见一道题,
共5个按钮,对应5种动物。每个按钮按一下出现一种动物。再按一下出现第二只这个动物。按钮每个只能按2次,5个按钮随机按。求最后能产生多少个不同的画面。
这是一个变态的甲方提供给苦逼的课件制作者的,要求乙方把所有的画面都做出来,乙方估计是美工,数学应该也不怎么样,做了40几个以后发现不对劲了,效率怎么这么低?于是就进群求教。
我算了两次,推出的第一个公式是::
$\prod_{i=1}^{n-1}{((2i+1)+B[2i+1,2])}$
这个公式看不懂没事,后面有更简单的。看上去有点复杂,但其实很好理解,我们用数字来表示动物好了。1个按钮只会出现一个画面,但按按钮不一定照先1后2的顺序,所以有3个空位留给第2个按钮,就像这样子:
( )1( )1( )
括号内可以是两个2或一个2。那么就有$3+B[3,2]=6$种情况,我们用abcd表示,于是第3个按钮就有5个空位了,就像这样子:
( )a( )b( )c( )d( )
括号内可以是两个3或一个3。那么就有$5+B[5,2]=15$种情况。abcd有6种情况,所以,共计 15*6=90 种情况。
依次类推,出现的情况依次是:
2个按钮有6种情况,是4!的1/4。
3个按钮有15*6=90种情况,是6!的1/8。
4个按钮有28*15*6=2520种情况,是8!的1/16。
5个按钮共计45*28*15*6=113400种情况,恰好是10!的1/32。
引入阶乘是由于担心重复计算导致可能性超出总的可能性,结果却发现了这一巧合,这就说明n个按钮,有 (2n)!/2n 种情况。
写博文之前还没理解这个公式,写的过程才发现有种更简单的解题思路:n个按钮,总共按出2n个动物,有(2n)!种情况,但有2个动物是重复的,一共有n组,所以要除以2n。
举个简单的例子,2个按钮,先按出的是黑色,后按出的是红色,那么就有可能按出1122这种情况。但4!里还包括了:1122,1122,1122。所以要除以22。
这种思路就算一开始没想到,做过一遍以后也就有了。这种题做的过程中有一种探究未知的兴奋,但做完了以后,又觉得挺一般的。其实解题过程就如同做爱,射了以后,就会觉得很空虚。乙方倒也不在乎具体的结果,她的意思是超过100个就不想做了,何况是11万个。
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7.28修改:
1.Binomial是二项式系数,以前高中学的时候用的是C,现在貌似用B了。
$B[2i+1,2]=\frac{(2i+1)*2i}{2}$
2.利用上式证明下面的式子并不难。
$\prod_{i=1}^{n-1}{((2i+1)+B[2i+1,2])}=\frac{(2n)!}{2^n}$
3. $\frac{(2n)!}{2^n}$ 把偶数项的2约掉,会变成 $n!\prod_{i=1}^{n-1}{(2i+1)}$
这个公式也能对应一个解题思路:
举例来说,假设5个按钮,先按出的是黑色,后按出的是红色,
先按出的黑色有$n!$种可能。其中一种可能是:
1( )2( )3( )4( )5( )
此时,5只有1个空位可呆,
1 2 3 4 5( )
放入5后,4有3个空位可呆,
1 2 3 4( )5( )5( )
不论4放哪里,3都有5个空位可呆,
1 2 3( )4( )4( )5( )5( )
1 2 3( )4( )5( )4( )5( )
1 2 3( )4( )5( )5( )4( )
以此类推,2有7个空位,1有9个空位。
$n=5$时,9*7*5*3对应的就是$\prod_{i=1}^{n-1}{(2i+1)}$
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GMT+8, 2024-10-19 22:01
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