【宇宙动力学方程】

张小雨：“师兄，我终于宇宙动力学方程了，算得我好累。”张小雨甩了甩发酸的手臂，“广义相对论的计算还是有些麻烦的，不过我还是挺厉害的吧，嘿嘿。”

司马弦：“看你得意的。不过想想当年，前辈们第一个次得到这些方程时，那该有多兴奋。”司马弦指着其中一个方程说，“这就是我们通常说的Friedmann方程:

<方程1：Friedmann方程>

$\left(\frac{\dot a}{a} \right )^2 + \frac{k}{a^2} = \frac{8\pi G}{3}\rho$

这其实是一个约束方程，有点类似于能量守恒方程，它起源于时间平移不变性。换句话说，我们可以重新定义方程中的时间变量，而不引起物理过程的变化。你看，上面这个方程的左边第一项，是不是有点像通常物体的动能（正比于速度的平方）。另外，从爱因斯坦方程中，你应该还可以得到一个方程：

<方程2：宇宙动力学方程>

$\frac{\ddot a}{a} = -\frac{4\pi G}{3}(\rho+3p)$

这个才是真正的动力学方程,比较一下牛二定律，是不是很像 $\ddot s = F/m$ 。今后我们的任务就是通过求解a，来了解宇宙的演化规律。”

张小雨：“可是，师兄，这里还有一个方程呢：

<方程3：物质能量守恒方程>

$\dot \rho + 3\frac{\dot a}{a}(\rho + p) = 0$

我是从 $\nabla_\mu T^{\mu 0} = 0$ 这个式子得到的。”

司马弦：“你算的很仔细，这个方程是爱因斯坦方程自动满足的。如果不信，你可以算算看，从前面方程1和方程2出发，就可以推导出方程3，反之亦然，所以这三个方程只有两个是独立的。”司马弦继续解释道，“事实上，爱因斯坦张量满足Bianchi恒等式，因此就会有能量动量张量守恒定律：

$\nabla_\mu G^{\mu\nu} = 0 \Rightarrow \nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0$

这个定律的时间分量就是你得到的方程，而空间分量是自动满足的。但爱因斯坦本人，在当年创建广义相对论的时候，并不知道这个事实，而是凭着他的物理“直觉”，认为能动量就应当满足守恒方程。看来，物理直觉是多么重要啊”。

【小试牛刀】

张小雨：“师兄，不对呀，现在有两个独立的方程，可是有三个未知函数， $a(t),\rho(t), p(t)$ ，那我怎么解呀？”

司马弦：“你说对了，所以，我们还需要引入另外一个方程，俗称‘状态方程’：

<方程4：状态方程>

$p = w\rho$

这里的w，叫做状态方程参数，它可以是个常数，也可以是一个一般的函数。其实，这个方程早就出现在热力学的课本里了。简单地讲，它表示某种流体的压强和能量密度之间的关系。最早，人们是通过各种热力学实验，总结出来这些关系的，后来发现，可以从分子微观运动理论，运用统计的方法得到状态方程。”

张小雨：“师兄，你能举个例子吗？”

司马弦：“在宇宙学里，最重要的三种流体包括：物质（低速、非相对论性），辐射（高速、相对论性），真空能（或者叫宇宙学常数，量子、相对论性），他们的状态方程参数分别是，w=0（物质）、w=1/3（辐射），w=-1（真空能），暂时先别管我怎么知道这些数值的，我们先来看看如何来求解宇宙动力学方程，从而得到宇宙的演化规律。”

张小雨：“这里有三个方程，我该选哪两个方程呢？”

司马弦：“随便选哪两个都可以，如果是我的话，就选择方程1和方程3，因为最简单。Simple is beauty！”，司马弦故意拽了几个有家乡风味的英文，接着说道，“我们暂时只考虑空间平直的宇宙，即k=0的宇宙。好了，这样我们需要求解的方程组就是：

<方程5，方程6>

$\frac{d\rho}{dt} + 3\frac{da}{adt}\rho(1+w) = 0$

$\frac{da}{adt} = \sqrt{\frac{8\pi G}{3}\rho}$

为了方便，我把微分的记号完全写出来了，方程5和方程6其实完全来自于方程3和方程1。”

张小雨：“师兄，你已经把状态方程带入方程3，才得到的公式5吧？那我们怎么解这两个方程呢？”

司马弦：“你说的对，状态方程已经带入，这样两个方程两个未知数，就可以求解了。”司马弦在纸上画了几条线，接着说道，“我们的策略是这样的，通过求解方程5，就可以得到 $\rho$ 和a的关系，之后把这个关系带入道方程6中，就可以求解得到a关于时间t的函数了。”

张小雨：“先算一个w=0的吧。”

司马弦：“好的，假设宇宙是以物质为主要成分的，那么从方程5，你可以得到

$\frac{d\rho}{\rho} = -3\frac{da}{a} \Rightarrow \rho \sim a^{-3}$

带入方程6后，又得到

$\frac{da}{a} \sim \sqrt{\frac{1}{a^3}} \Rightarrow a^{1/2}da \sim dt \Rightarrow a\sim t^{2/3}$

看到了吧，这就是宇宙的解了！如果是物质为主要成分的宇宙，它将以时间的2/3次方膨胀！”

张小雨：“居然这么简单！哈哈，我也能洞察宇宙的演化规律了！不过，师兄，你在计算的时候老是写一个～号，是个什么意思？计算的过程好像也没有那么严格？”

司马弦：“这正是我要说的，～就是约等于的意思，把一切可以暂时不理的常数统统省略，一来可以方便计算，二来不容易出错。”司马弦露出得意的笑容，“虽然我的计算看上去很不严格，其实那仅仅只是看上去。比如，我得到的能量密度与a的关系，如果要把积分常数写出来就是

$\rho = \rho_0 \left(\frac{a}{a_0}\right)^{-3}$

怎么写出来的呢，说出来很简单，就是量纲分析：方程左边能量密度是一个能量4次方量纲的，那我就在右边乘以一个常数，最自然的就是能量密度在某个时刻的值；对a也作同样的处理，那么这里的 $\rho_0$ 就是 $a=a_0$ 时刻的值，而且我们一般取宇宙现在的时刻为 $a_0$ 。”

张小雨：“哦，原来是这样，那我来试试：

$a(t) = a_0 \left(\frac{t}{t_0} \right )^{2/3}$

这里的 $a_0$ 就是 $t=t_0$ 时刻的值。”

司马弦：“学的挺快。所以，从中可以发现，物质为主的平直宇宙将会一直膨胀下去，而且宇宙存在一个起点，t=0且a=0。”司马弦接着算道，“还记得哈勃参数吗？我们来算算

$H(t) = \frac{da}{adt} = \frac{2}{3t}$

那么，根据这个式子，你可以得到宇宙现在的年龄大概就是 $t_0 = 2/(3H_0)$ 。以后你会发现这个数值比观测值要小，也就是说现在的宇宙并不是以物质为主要成分的，到时，我会再详细得解释给你听。另外，我们还可以得到：

$\rho = \rho_0 \left(\frac{t}{t_0}\right)^{-2} = \frac{\rho_0t_0^2}{t^2} = \frac{1}{t^2}\frac{4\rho_0}{9H_0^2} =\frac{1}{6\pi G t^2}$

其中，我们用到了Friedmann方程哦：

$H_0^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho_0$

能量密度虽然是以 $a^{-3}$ 演化的，却是以 $t^{-2}$ 演化的，这是由于宇宙的演化并不是时间的线性函数，而是以 $t^{2/3}$ 的形式演化。”司马弦沉思了一下，“从另外一个角度讲，密度和体积成反比，体积又和长度的三次方成正比，而长度由于宇宙膨胀而变长了，那么密度自然就和 $a^{-3}$ 成正比。

$l\sim a\,, V\sim l^3\sim a^3\,,\Rightarrow \rho\sim 1/V\sim a^{-3}$

看懂了吧？”

张小雨：“看懂了。那是不是也可以用同样的方法，来求解当w=1/3，-1的情况？”

司马弦：“是的，这就留给你自己完成了哦，你会发现如果是辐射为主要成分的宇宙，其能量密度不是和 $a^{-3}$ ，而是和 $a^{-4}$ 成正比，这究竟是怎么回事，你能想的明白吗？我先卖个关子，等你算完了再告诉你。”

(未完待续……，预告：下回将会有一个番外的内容：广义相对论vs牛顿万有引力)