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“奥数式”思维是我杜撰的一个新鲜词,意指不按常规的逻辑思考,独辟蹊径,剑走偏锋。且来看一道中考压轴题:
已知平面直角坐标系中两定点A(-1,0)、B(4,0),抛物线y=ax^2+bx-2(a不等于0)过点A、B,顶点为C,点P(m,n)为抛物线上一点.
(1)求抛物线的解析式和顶点的坐标;
(2)当 $\angle$ APB为钝角时,求m的取值范围;
(3)若m>3/2,当 $\angle$ APB为直角时,将该抛物线向左或向右平移t(0<t<5/2)个单位,点C、P平移后对应的点分别记为C'、P',是否存在t,使得首尾依次连接A、B、P'、C'所构成的多边形的周长最短?若存在,求t的值并说明抛物线平移的方向;若不存在,请说明理由.
第一问是平凡的,第二问对于高中生也是很容易的,只要运用一下余弦定理或向量内积便可解决。问题是初中生对此一无所知的情况下,这一问就不平凡了。我不知道原始的标准解答是什么,网上搜到的解答是这样的:
在我看来这个解答是典型的“奥数”式思维,首先,为什么想到先验证抛物线和Y轴交点D与AB构成的三角形是直角三角形?假若将抛物线向右或向左平移若干个单位使得抛物线与Y轴的交点跑到X轴上方,又如何寻找这样的特殊点呢?其次,以ABED作园,根据抛物线AP段及BE段在园内,DE段在园外从而得到m的取值范围,这里也存在一个问题:“抛物线AP段及BE段在园内,DE段在园外”是否需要证明?直观与证明是完全不同的两回事,直观是不能代替证明的。
上述证明方法显然不是常规的证明思路,正常的逻辑思维应该这样思考:
1、如何判定∠APB是钝角?从条件可知,三角形三个边的边长是可以用m、n表示的,换句话说,当m、n已知时,三个边的长度是可以计算的。问题是,三角形的三个边与角之间有什么关系?
2、直观判断,锐角的对边平方小于两个邻边的平方和,钝角对边的平方大于两个邻边的平方和,如何证明?
如果回答了上述两个问题,第二问就不难解决了,学生容易犯的错误可能是试图将n换成m,这样计算就复杂了,可以将m换成n,利用钝角三角形三边的关系得到关于n的不等式,由于抛物线在对称轴左边单调下降,在对称轴右边单调增加,据此不难得出P点横坐标m的取值范围。然而,钝角三角形的三边关系在中学课本里是没有介绍过的,学生能不能直接使用?是不是学生应该掌握的内容?虽然这个性质的证明并不难,只需从A点引BP的垂线,当∠APB是钝角时,垂足必在BP的延长线上,当∠APB是锐角时,垂足必在线段BP内,利用勾股定理很容易证明三边之间的不等关系。这道题算不上难度很高的题,但解法有走偏了,如果按照正常的思维方式,显然超出了学生的知识范围。显而易见,没有经历过奥数洗礼的学生是很难完成这道题的证明的。
你能回答第三问吗?
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GMT+8, 2024-10-19 21:29
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