我在某几个场合声称过自己其实对测量平差这门学科很感兴趣，然而三四年前学的平差知识我已经差不多还给老师了。即使是最近一两年在课堂的学过的“现代测量数据处理”这门课，课程内容我也印象不深了。反倒是，任课老师背着个米老鼠的包，拿着教鞭的形象我记得更清楚些。印象比较深的还有老师经常强调的这句话“你们平差没学好，是老师没好好教，还是学生没有好好学”以及他总结的经典平差体系“一两三四五”论断，具体是哪“一两三四五”，也是最近翻开当时PPT才回忆起来的了。

   再读这本书，是想为后面的广义测量平差以及自适应动态导航定位打下坚实的基础。很尴尬的是，作为一个正儿八经的985高校的研究生，在去年7月份参加在同济大学举行的暑期学校，听到VCE(variance component estimation)这个名词时却感到很陌生。这也促使我必须再审视下自己的专业结构，在上博之前巩固下自己的基础知识。于是，我把数据处理作为自己的根本，重新认识，学习，巩固。

   对于这两周学习的“误差理论与测量平差基础”，有如下感受：

   一是“一两三四五”论断。一个准则是最小二乘准则；两个任务是参数估计和精度评定；三个公式是方差协方差传播公式，间接平差参数估计公式，验后方差单位权方差估计公式；四个模型是条件平差，附有参数的条件平差，间接平差和附有限制条件的间接平差；五个问题是多余观测，正态分布，权与权阵，误差椭圆和模型检验。

   二是经典平差和近代平差的界定。经典平差和近代平差的区别是，经典平差处理的是只带有偶然误差的一系列观测值。观测值是符合正态分布的随机变量，而估计的参数要求是非随机参数，即期望和方差未知。随机变量指的是期望和方差已知。（偶然误差与随机误差的区别是偶然误差期望为零，而随机误差不一定。）而教材第十二章近代平差概论中“附加系统参数的平差”和最小二乘配置原理分别不满足偶然误差和待估参数是非随机参数的条件。另外，待估参数间相关的问题导致附有限制条件的间接平差模型的建立。包括在接下来的平差方法中，也有很多前提和适应条件，是值得注意的。

   三是对最小二乘的字面理解。英文翻译是least square method，具体到公式V^TPV=min,可以看出，least square 描述这个准则很是到位，中文“二乘”这个词应该是创造出来的。

   四是对未知数和方程数的理解。大家都很清楚，未知数等于方程数时解唯一，未知数大于方程数时解无穷，未知数小于方程数时无解。众所周知，最小二乘解决的是第三个问题，即未知数小于方程数的情况。但是最小二乘真的那么神奇把无解的问题求解出来吗？答案不是这样的。它的解算过程的思路很让我感叹，赞美，即所谓的转化的思想。将无解的问题增加未知参数（此时未知数多于方程数）先转化为无穷解的问题，然后再增加方程达到限制未知参数的作用（此时未知数等于方程数）从无穷解中找出一组最优解。我的理解是这里的方程存在两种类型，一种是观测方程，列观测方程的时候未知数是小于方程数的，另一种是误差方程，列误差方程时因为增加的改正数信息，此时未知数是多于方程数的。最小二乘准则的作用就是限定改正数信息，以获得最优解。这种转化的思想很巧妙，在不同观测精度求单位权中误差中也有体现。我们已知的是同精度独立观测值求单位权中误差的方法，所以将不同精度的观测值利用权倒数传播定律虚构一组同精度的观测值，里面包含权信息，再代入已知的同精度计算公式中，获得不同精度的观测值求单位权中误差的计算公式。

   五是正态分布密度函数，包括多维情况下的密度函数，很重要，但是我估计过段时间又会记得不牢靠，也不知道有没有什么更好的方法来记忆。

   六是对精度和精确度的理解。精度英文里用precision，准确度用的是accuracy。精度表述的是离散程度，与自身期望的离散程度，有点像（或者是）内符合，用标准差(std)或者在测量中常用中误差或者方差来衡量。准确度表述的是与真值的接近程度，外符合，用均方根(RMS)误差或者均方误差(MSE)来衡量。

   七是对四种平差模型的比较与总结，见图。实际上，在本科初学平差的时候，对这四种模型讲的最多。似乎所有的老师都对怎么做题感兴趣，而不是为什么这么做。在进行精度评定的时候，值得注意的是改正数V和改正后的观测值 $\hat{L}$ ，改正数V和参数真值 $$ $\hat{x}$ 协方差为零。以间接平差为例， $\hat{L}$ =L+V,V=B $\hat{x}$ -l,两个参数出现在同一个公式中竟然不相关，有点不能理解，不知道如何解释。

   八是在二维或者三维矩阵旋转，具体应用在坐标转换中有个小技巧。实际上矩阵旋转参数都可以用余弦函数表达。以二维坐标转换为例，在仅考虑两个旋转参数的情况下，新坐标分量对应于旧坐标分量的旋转分量是新坐标分量顺时针转到旧坐标分量的角度余弦值。在三维矩阵旋转过程中，有三个旋转矩阵，分别绕X,Y,Z旋转，当绕X轴旋转时（X轴正向看角度为逆时针），YOZ平面运动，X轴分量不变对应的旋转分量主对角线为1，其他为零，YOZ平面的旋转矩阵与二维类似。

   九是平差结果统计性质里面证明对 $\hat{x}$ 、 $\hat{L}$ 的估计无偏且方差最小以及对对单位权中误差的估计的无偏性。

   十是误差椭圆，目的是能够求解任意方向上的误差值，比如找出控制点误差（点位位差）最大的方向（最弱方向）。这里有个横向误差和纵向误差的概念，纵向误差是沿着边长方向，横向误差是垂直于边长方向，是由坐标方位角引起的。横向误差的计算在以边长S，横向误差以及方位角误差构成的三角形内解算。

   十一是统计假设检验，涉及到U检验（期望检验，方差已知），t检验（期望检验，方差未知），卡方检验（方差与某一已知的方差显著性检验），F检验（两个方差对比检验）。比较重要的例如平差模型正确性的检验，利用卡方检验先验方差和验后方差的显著性水平，再比如平差参数的区间估计。这里还有一个知识点是粗差探测，利用残差V进行统计假设检验，大于两倍中误差则拒绝原假设，认为对应的观测值不是偶然误差，从而删除。

   十二是近代平差概述。对于序贯平差来讲，又称逐次相关间接平差和静态卡尔曼滤波，只利用前面一个历元的解和协方差来推算下个历元的解和协方差，里面涉及到一个矩阵反演的重要的公式。对于秩亏自由网平差来说，通用公式是在法方程上加上G^TG的约束，G矩阵的构造由很多种，比如重心基准，拟稳基准等。

   十三是以一个典型的估计点坐标的平差问题为例，过程为列数学模型、最小二乘估计、精度评定、假设检验/去除粗差观测值重新计算、估计结果（包括观测值函数结果）、计算误差椭圆。