在电动力学中，麦氏方程有两种表述，一种是用电场E和磁场B是写的，另一种是用电磁矢势A写的。以前认为矢势只是一种数学工具，基本的可观测的物理量只是E和B。现在不这样看了，矢势A比E和B更基本，它具有局域规范变换不变性。特别是量子力学发展起来以后，矢势A就有可观测的效应了，比如A—B效应。其实这个想法早就应当引起注意，比如一个带电粒子在电磁场中运动，其哈密顿量是

$H=\sqrt{(P-eA)^2+m^2}+e\phi$

从上式可以看出，电子是通过矢势A直接与电磁场耦合的。为什么不是直接通过可观测的物理量E和B耦合，这一点其实是很奇怪的。

实际上对电子的描述也与此相对应。首先我们应当先暂时忘掉电荷和质量的粒子性，在宏观世界可以认为电荷和质量都是连续的，就像流体一样。粒子性不是指质量和电荷可以分为一份一份的，还是指它们的不可分割性，有一个基本的单元，而这一点实际上要把电荷和质量对应的场量子化之后才能知道。人们不能理解电子的双缝干涉实验，是因为被现代物理学知识武装的我们对电子的粒子性已经有了先验的认识。假如是200年前，人们把“电子束”想像成带电的有质量的连续的流体（或是带电气体，这就是“电气工程”的由来），而“电流”或“电气”中可以产生波动，那么“电子波”的干涉实验就好理解了。因此，如果退回到200年前，我们描述电子场需要用到的量是电荷的密度场 $\rho (\vec{r},t)$ 和速度场 $v (\vec{r},t)$ 。我们可以直接根据牛顿定律建立速度场的运动方程，再根据连续性条件求出电荷密度场，如下：

$m\frac{dv(\vec{r},t)}{dt}=-\bigtriangledown V,\ \ \frac{\partial \rho (\vec{r},t)}{\partial t}+\bigtriangledown \cdot \vec{j}=0$

还有一种办法，类似于引入数学工具矢势A，可以先由Jacobi-Hamilton方程求出作用量S，再用S求出速度场，如下：

$\frac{\partial S}{\partial t}+\frac{(\bigtriangledown S)^2}{2m}+V=0,\ \ \ v(\vec{r},t)=j/\rho =\bigtriangledown S/m$

容易看出，这个方程具有整体规范变换不变性，作用量S加上一个常数不改变方程形式和速度场 $v (\vec{r},t)$ 。我们可以引入波动函数(Eikonal Form, 几何光学形式)

$\psi =Re^{iS/\lambda }, \ \ (\lambda \rightarrow 0)$

然后由Jacobi-Hamilton方程就可得到关于 $\psi$ 的波动方程（这里要特别强调： $\lambda \rightarrow 0$ ，才能得到下式）：

$i\lambda \frac{\partial \psi }{\partial t}=-\frac{\lambda }{2m}^2\frac{\partial^2 \psi }{\partial x^2}+V\psi \ \ \ (1)$

由方程（1）求出 $\psi$ 后，我们就可以由此得到可观测量

$\rho =|\psi |^2,\ \ j=\frac{1}{2m}(-i\lambda \psi ^*\bigtriangledown \psi +c.c.)$

当我们取有限的 $\lambda$ 值时，此时关于 $\psi$ 的波动方程（1）就具有量子力学的薛定谔方程形式。由此可以看出，这里波动函数ψ的作用十分像电磁矢势A的作用，看起来只是一个数学工具。这里，需要重点强调的一点是：参量 $\lambda$ 是人为引入的一个辅助参量，没有任何量子力学的含义，我们解题时先假设 $\lambda$ 是个有限值，最后再让 $\lambda$ 趋于零就可以得到有意义的经典结果。

如果你真是200年前的物理学家发明了这种方法的话（实际上就是WKB准经典近似方法），你也不会认为 $\lambda$ 值有限的波动方程（1）有任何物理意义，而只是一个数学工具。可谁能想到，当量子力学和量子场论发展起来以后，自然界让 $\lambda$ 有一个最小值，这就是普朗克常数 $\hbar$ ，而方程（1）变成了具有第一性原理的基本方程。我们看到矢势A和波函数ψ作用要远远大于它们所对就的经典宏观量。它们以适当的方式耦合之后就可以满足局域规范不变性原理。把它们量子化之后，自然得到光子和电子的粒子属性。在相对论情况下，电子的波动函数要用狄拉克的协变方程来描述。为了满足洛伦兹不变性，自然要赋予电子内禀空间，这可以被解释为自旋空间。