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太阳能强度的分布函数和转移矩阵.1--《气象随机场-19》
张学文,2014,8.13-17
气象学承认太阳能是气象变化的根源。可理论气象学在介绍大气的运动、变化时却主要是谈流体力学的方程、质量守恒方程等等,而使用所谓绝热假设把难处理的每天太阳能的具体作用忽略。
而在气候学中对太阳辐射则基本给出一个太阳高度的天文学公式,再加一些说明与推导,好像关于太阳能的气象知识已经分析完了。至于这些知识如何与大气的运动方程组结合起来,则没有再去探索。
气象变量在气象场中的分布函数概念与其转移矩阵概念的引入。似乎为我们找到了把太阳能强度的变化规律与天气变化规律的统一起来的技术途径。
现在我们就把(1)太阳能强度在气象场上的分布函数分析一番,并且(2)分析其转移矩阵的特征。
(1)太阳能强度在气象场上的分布函数分析
作者先前单独分析过太阳能强度的分布函数,见天文气候中的两个分布函数 沙漠与绿洲气象 2008年5期2卷11-14页。以及本讲座的之5,http://blog.sciencenet.cn/blog-2024-808108.html 。在哪里我们获得任何时刻的大气顶所收到的太阳能强度与其占有的地球面积的关系如下图(也是”之5”中的图2)。该图给出了任何一个时刻,不同强度的太阳能分别占了全球的多少面积。
在图中我们把相对的太阳能强度离散化为11个区间(相格),没有太阳辐射时的太阳辐射强度=0的情况单独为一种状态,而且它总是占有地球总的表面积的50%。而辐射强度为太阳常数(它等于1367瓦/平方米)的1/10,2/10,3/10…10/10者所笼罩的全球相对面积分别是全球总面积的5%。这个关系是基于天文知识而求得的。它在任何时刻都是对的。如果不考虑没有太阳的夜间部分,那么我们可以说白天的太阳能呈均匀分布。或者说在有太阳的半球,不同能量的太阳辐射能所笼罩的地球面积都是(竟然)是相同的。这个关系对应一年四季的任何一天的任何时刻都是对的。
以上的天文学分析无形中告诉我们:全球太阳能强度的分布函数(不同太阳能占有的相对面积)竟然是不随时间而变化的。
(2)全球太阳能强度转移矩阵
在认识了太阳能的分布函数的这个特征以后,我们再分析它的转移矩阵问题。即分析具有不同的太阳能强度的地方(当地)经过了一段时间以后其太阳能强度的变化情况。
白天我们在地球上总是可以看到太阳高度和太阳能强度的变化。在有日射的半球上,太阳能的强度是变化着的。这种变化反映到气象场(有太阳的半球)中的太阳能强度分布函数固然没有变化,但是它对应的转移矩阵的有关元素(转移的速度)却不全为零。
现在的任务是探索太阳能强度的转移矩阵是什么。
我们固然不能凭空去猜太阳能强度的转移矩阵,但是我们已经有了两个重要提示:一是,太阳能的分布函数总是不变的。另外一个是太阳能强度大于0时,太阳能强度的笼罩面积是均匀分布。这两个重要特征也给了我们解决转移矩阵是什么问题重要提示。
另外,根据前面的讨论、设定和太阳能的变化是连续型的变化,如果把转移矩阵所对应的时间间隔(步长)是相当短的,那么太阳能强度的状态在一步状态转移中就只可能留在原状态相格内,或者转移到相邻的状态(相格)内。而不会跳到不相邻的相格中去.
据此容易看到,在转移矩阵是11阶的情况下,它的11×11=121个元素值中就应当有90个元素是0。即这个矩阵中只有31个元素的值不为0。这31个元素包括矩阵主对角线上的11个元素以及它左右两侧的各10个数据。
考虑到分布函数的函数值是相同的(在太阳能强度大于0的部分),一个合理的猜想是主对角线两侧的数(状态转移速度)应当是相等的。这表明转移矩阵的各个元素值中除了90个为0以外,还有10个数据与另外的10个相同。我们在向求得转移矩阵的方向前进!
考虑到这个矩阵是转移矩阵,即它的每一行的各个元素值的合计值显然应当等于1,即在转变中太阳能不增加也不减少。所以11行的矩阵应当有11个合计值=1的方程。这对应着我们的未知数又减少了11个。
另外基于太阳能强度主要是均匀分布的特征,不同状态(相格)中的太阳能确定在相同的时间间隔内的转移量很可能也是相同的(各行的对应转移率)。这样我们求的转移矩阵就又出现了一些相等的元素。
注意我们强调过转移矩阵涉及的时间间隔应当是相当小的,这用以保证在一步转移时,太阳能状态(强度)最多只能移到它的临近的状态(相格)。而究竟什么是相当小,并没有明确规定。言外之意就是我们可以自行规定一个时间步长,或者说规定一个(也算标准化,不是多个)合适的转移速度。
在这些初步解释下,我们一般是规定转移矩阵的第2行第2列的元素为人为给定值。即它不是未知数,而是规定的。在本问题中我们规定该元素的值是0.95。即第2个太阳能强度状态(相格)在一个时间步长中依然维持原状态(留在原相格)的百分比是95%。
根据以上的一些考虑。我们获得的一个全球(气象场)太阳能强度的转移矩阵如下。
全球气象场中太阳能强度为不同值时,经过一个时间步长以后,当地太阳能强度(左边状态)转移到其他状态者(表的最上端状态)占有的比例(相等面积)表.表中灰色部分就是转移矩阵.
太阳能 强度 | 夜,0 | 0.05 | 0.15 | 0.25 | 0.35 | 0.45 | 0.55 | 0.65 | 0.75 | 0.85 | 0.95 |
夜,0 | 0.9975 | 0.0025 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0.05 | 0.025 | 0.95 | 0.025 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0.15 | 0 | 0.025 | 0.95 | 0.025 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0.25 | 0 | 0 | 0.025 | 0.95 | 0.025 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0.35 | 0 | 0 | 0 | 0.025 | 0.95 | 0.025 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0.45 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.025 | 0.95 | 0.025 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0.55 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.025 | 0.95 | 0.025 | 0 | 0 | 0 |
0.65 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.025 | 0.95 | 0.025 | 0 | 0 |
0.75 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.025 | 0.95 | 0.025 | 0 |
0.85 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.025 | 0.95 | 0.025 |
0.95 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.025 | 0.975 |
用这个转移矩阵去乘以当前的太阳能强度分布函数会获得什么?它的物理意义/气象意义是什么?这个时间步长究竟是多长?我们是否应当把这些进一步公式化一下?…这些都是接下来要讨论的事。
但是,鉴于本讲已经比较长了,现在我们暂停讨论,读者也可以在这个表目前思考有关问题。
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