|||
1.$f(z)$ 在 $U=\{z:|z|<1\}$ 解析,$|f(z)|<1,f(0)=a(a\neq0,a\in U).$
证明:$$|f'(0)|\leqslant 1-|a|^2.$$
证明: 令 $$g(z)=\frac{z-a}{1-\overline{a}z}$$
显然 $g\circ f(0)=0,$且十分易证(最大模原理或直接证明都可): $|z-a|\leqslant|1-\overline{a}z|,(|z|<1)$,故有: $|g\circ f(z)|\leqslant 1.$ 由 Schwarz 引理
$$|(g\circ f )'(0)|=|g'[f(0)]f'(0)|\leqslant1 .$$
于是
$$|f'(0)|\leqslant\frac{1}{|g'(a)|}=1-|a|^2 .$$
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