||
1.$a_{n}$ 为有界数列,则:$\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\leqslant\limsup_{n\to\infty}a_n$
证:
begin{eqnarray*}
& &limsup_{ntoinfty}frac{a_1+a_2+cdots+a_n}{n}\
&leqslant & limsup_{ntoinfty}frac{displaystylesup_{kgeqslant1}a_k
+displaystylesup_{kgeqslant2}a_k+cdots+displaystylesup_{kgeqslant n}a_k}{n}(text{极限存在,上极限等于极限})\
&= & lim_{ntoinfty}frac{displaystylesup_{kgeqslant1}a_k
+displaystylesup_{kgeqslant2}a_k+cdots+displaystylesup_{kgeqslant n}a_k}{n}\
&=&lim_{ntoinfty}sup_{kgeqslant n}a_k=limsup_{ntoinfty}a_n.
end{eqnarray*}
注:显然直接放缩到最大值是不对的.
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GMT+8, 2024-10-19 23:10
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