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Hilbert学习笔记
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1、线性空间：设F是一个数域，X是一个非空集合，称X是数域F上的线性空间，是指在X中定义了两种运算（满足封闭性，即运算结果仍然在集合X中）：加法+（满足交换律、结合律）和标量乘法（满足结合律、分配律）。
2、群：X按照加法+构成一个群，其零元用0表示。（X,+）或者（X,+,0）
3、线性映射：如果从线性空间X到同一个数域上的另一个线性空间U的映射M:X->U是一个代数同态，即M(x+y)=M(x)+M(y)；M(kx)=kM(x)，则称M是从X到U内的线性映射；
映射M在x上的作用是一种乘法：M(x)=Mx
4、线性映射的指标：若线性映射G的值域是有限维的，即dimRGB<wuxiongda；则称G是退化的；
退化映射在如下意义下构成一个理想：
（4.1）两个退化映射的和还是退化的；
（4.2）在退化映射的左端或右端乘以任意线性映射所得到的映射仍是退化的，即若G是退化的，则当MG和NG有意义时，MG和NG都是退化的。
5、线性泛函：设l是数域F上的线性空间X到F的一个映射，如果对X中任意的x，y，l（x+y)=l（x）+l（y）；对任意的k属于F，l（kx）=kl（x），则称l是X上的一个线性泛函；
6、Hahn-Banach定理：设X是实线性空间，p是X上的一个实值函数且p满足下列性质：
（5.1）正齐性：对于X中的每个x，任意a>0，p（ax）=ap（x）
（5.2）次可加性：对X中所有的x和y，p（x+y）<=p（x）+p（y）------三角不等式
设Y是X的线性子空间，l是Y上定义的受p控制的一个线性泛函：对Y中所有的y，l（y）<=p（y）
断言：l可以延拓为X上的受p控制的线性泛函（仍记为l）：对X中所有的x，l（x）<=p（x）
7、Hahn-Banach定理的延拓：设X是一个实线性空间，A是由一簇互相交换的线性映射Av：X->X构成的集簇，即对A中任意两个映射Av和Au，均有AvAu=AuAv
设p是X上的一个实值的、正齐次的、次可加函数并且在每个Av作用下不变：p（Avx）=p（x）
设Y是X的一个线性子空间，l是Y上的线性泛函且满足下列3条性质：
（7.1）l受p控制，即对Y中的每个y，l（y）<=p（y）
（7.2）Y在每个映射Av下不变，即对Y中的y，Avy属于Y
（7.3）l在每个映射Av下不变，即对Y中的y，l（Avy）=l（y）
断言：l可以延拓到整个X上使得l受p控制，且在每个映射Av下不变。
8、范数：设X是R或者C上的一个线性空间。X上的范数，记为|x|，是X->R的满足正性、次可加性、齐性；
度量：可以通过定义两点间的距离d（x，y）=|x-y|，在X上引入一个度量；
线性空间上具有平移不变性和齐性的度量： d（x+z，y+z）=d（x，y）；d（ax，ay）=|a|d（x，y）
等价的范数诱导出相同的拓扑：假设在线性空间X上定义了两个不同的范数|x|1和|x|2，如果存在常数c，使得对X中所有的x，c|x|1<=|x|2<=c^-1|x|1，则称|x|1和|x|2是等价的
9、赋范线性空间：赋范线性空间X的线性子空间Y也是一个赋范线性空间；给定两个线性空间Z和U，用直和Z+‘U={（z，u）：z属于Z，u属于U}表示他们的笛卡尔积。
Z+'U的范数可以定义为：|(z,u)|=|z|+|u|; |(z,u)|'=max{|z|,|u|}； |(z,u)|’‘=(|z|^2+|u|^2)^1/2
10、Banach空间是完备的赋范线性空间。
度量空间完备化过程：每个度量空间S都可以嵌入到一个完备的度量空间S’中，S‘由S中的柯西列的等价类构成。S在S’中是稠密的，即S的闭包是S‘
赋范线性空间X称为可分的，如果它包含着一个可数的稠密的子集，即闭包是整个空间X的点集。
设X是一个有严格次可加范数的实线性空间，若M是X到自身的把0映为0的等距，则M是线性的。
11、内积空间：设X是实数域R上的线性空间，若X上的关于x和y的实值函数（x，y）满足如下性质：
（11.1）双线性：固定y，（x，y）是x的线性函数，固定x，（x，y）是y的线性函数
（11.2）对称性：（x，y）=（y，x）
（11.3）正性：对x=!0,（x，x）>0
则称（x，y）是X上的一个内积，称X是一个内积空间。（当数域为C时，1和2变成半双线性，斜对称性）
对于在X上定义的一个内积，我们可以定义||x||=(x,x)^1/2；我们断定||.||是一个范数（正性、齐性、次可加性-Schwartz不等式|(x,y)|<=||x||||y||）。
如果（x，y）=0，则称x和y是正交的
12、Hilbert空间：关于由内积诱导出来的范数是完备的内积空间称为是一个Hilbert空间。
给定一个内积空间，它可以关于由内积诱导出来的范数完备话。
由Schwartz不等式可知，内积是其因子的连续函数，因此它可以延拓到完备化的空间上，故完备化后的空间是一个Hilbert空间。
13、闭凸集中的最佳逼近点：设K是Hilbert空间H中的一个非空凸子集，x属于H，则在K中存在唯一一点y，使得y到x的距离比K中其他点到x的距离近。
设Y是Hilbert空间H的一个线性子空间，所有与Y正交的向量（即满足（v，y）=0（任意y属于Y）的向量v）构成的集合称为Y的正交补，记为Y’
设H是一个Hilbert空间，Y是H上的闭子空间，Y‘是Y的正交补，则：
（13.1）Y’是H的闭线性子空间
（13.2）Y和Y‘是互补的子空间，即每个x可以唯一的分解为Y中的向量和Y’中的向量的和
（13.3）（Y‘）’=Y
14、有界线性泛函：设l(x)是Hilbert空间H上的一个有界线性泛函，即存在常数c，使得对任意x属于H，|l(x)|<=x||x||，
则存在唯一的y属于H，使得任意x属于H，l(x）=（x，y）
15、线性张：点集S={yj}的线性张是包含S的最小的线性子空间。
在Hilbert中间H中，点集S的闭线性张定义为包含S的最小的闭线性子空间，即包含S的所有闭线性子空间的交。
Hilbert空间H中的点y属于集合{yj}的闭线性张Y，当且仅当与所有yj正交的向量z也和y正交：任意j,(yj,z)=0 =>任意Z,(y,z)=0
标准正交基：若内积空间X中的一簇向量{xj}满足：对j=！k，（xj，xk）=0，且对所有的j，||xj||=1,则称{xj}是X的一个标准正交基
每个Hilbert空间都包含一个标准正交基
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