||
2 凸函数
2.1 定义
函数,如果在函数f的定义域内的任意两点x,y,任意有:
则称函数f为凸函数
从几何意义上讲,设函数f曲线上的两个数据点和,那么连接两个数据点的线段称之为弦。
如果一个函数f的定义域内的两个点的弦在函数曲线上方,则称函数是严格凸的(反之为严格凹的)。(判定准则)
仿射函数(包含线性函数)是既凸又凹的函数;如果一个函数是既凸又凹的函数,则其是仿射函数。
假设函数f一阶可微,则函数f为凸函数的充要条件是:domf是凸集且对于任意下式成立:
(判定准则)
假设函数f二阶可微,则函数f为凸函数的充要条件是:domf是凸集且对于任意下式成立:
(判定准则)
2.2 常见的函数的属性
R上的凸函数
指数函数。任意,函数在上是凸的。
幂函数。 当或时,在上是凸函数;当时,在上是凹函数。
绝对值幂函数。当时,函数在R上凸函数
对数函数。函数在上是凹函数。
负熵。 函数在其定义域上是凸函数。(定义域为,当x=0时函数值为0)
上的函数
范数。上任意范数均为凸函数。
最大值函数。函数在上是凸的。
二次-线性分式函数。在其定义域内是凸函数。
指数和的对数函数。函数在是凸函数。
几何平均。几何平均函数在定义域内是凹函数。
对数行列式。函数在定义域上是凹函数
参考书籍:
[1] 凸优化.王书宁等译.清华大学出版社(P60-68)
[2] convex optimization.Stenphen boyd
Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )
GMT+8, 2024-9-27 07:36
Powered by ScienceNet.cn
Copyright © 2007- 中国科学报社