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仿射集、凸集、椎
仿射集:如果通过集合 $C$ 中任意两个不同点之间的直线仍在集合C中,那么称集合C是仿射的。
凸集:如果通过集合 $C$ 中任意两个不同点之间的线段仍在集合C中,那么称集合C是凸的。
椎: 如果通过集合 $C$ 中任意点,则 $\theta x$ $(\theta \geq 0)$ 仍在集合C中,那么称集合C是椎。如果集合C是椎,并且是凸的,则称C为凸椎。
区别:仿射集包含任意两点的任意线性组合,而凸集包含任意两点的线性组合,但是要求组合系数满足( $0\leqslant \theta \leqslant 1$ , $\sum_{i=1}^{n}\theta _{i}=1$ );凸椎集合内部任意两点的任意非负线性组合
联系:凸集是放射集的子集;凸集也为凸椎的子集;凸椎为仿射集的子集
如果 $x_{i}$ 属于C,对于任意系数 $\sum \theta i=1$ ,我们称 $\sum \theta _{i}x_{i}$ 为集合C的仿射组合;
如果 $x_{i}$ 属于C,对于任意系数 $\sum \theta i=1$ , $0\leq \theta _{i}\leq 1$ ,我们称 $\sum \theta _{i}x_{i}$ 为集合C的凸组合。
如果 $x_{i}$ 属于C,对于任意系数 $\theta _{i}\geqslant 0$ ,我们称 $\sum \theta _{i}x_{i}$ 为集合C的椎组合;
仿射包:称由集合C中所有仿射组合组成的集合为C的仿射包,记为:
$affC=\sum_{i=1}^{n}\theta _{i}x_{i}|x_{i}\in C,\sum_{i=1}^{n}\theta _{_{i}}=1$
仿射包是包含C最小的仿射包。
称C中所有点的凸组合组成的集合称为C的凸包,记为:
$convC=\sum_{i=1}^{n}\theta _{i}x_{i}|x_{i}\in C,\sum_{i=1}^{n}\theta _{i}=1,0\leqslant \theta _{i}\leqslant 1$
称C中所有点的椎组合组成的集合称为C的椎包,记为:
$\sum_{i=1}^{n}\theta _{i}x_{i}|x_{i}\in C,\theta _{i}\geqslant 0$
参考书籍:
[1] 凸优化.王书宁等译.清华大学出版社
[2] convex optimization.Stenphen boyd
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