小题大做—三十年后才解的一道题

鲍海飞 2013-1-15

在《相对论---破解一道小学数学题》博文中，一位博友关晴骁的留言，说到了另一道与行程有关的数学题，而这道题似乎有两个故事原型。

第一个原型是我中学读书时候就读到的故事，那是大约三十年前了。记得曾经订阅过《中学生数理化》期刊（有初中版和高中版两种），当时这是我最喜欢的刊物了，每期必要精读的。其中就记载了一个与行程有关的数学小故事，大意是：故事中的主人公是在一辆奔驰的火车上，其中一个乘客对对面的另一个乘客说，有两列火车以一定的速度行驶，刚好从一座桥的两端同时相向而行，桥的距离是S，而这时，恰好有一条狗也从桥的一端和其中的一列火车同时向前奔跑，但狗的速度要比火车快，狗也是匀速奔跑。当狗向前奔跑遇到对面行驶过来的火车时，狗就立即掉头往回跑，当这条狗再遇到同向而来的火车时，又掉转头，再往回跑，就这样一直下去，直到两车相遇为止。问，这条狗跑了多远的路程。据说，被问到的主人公立即给出了答案。

博主关晴骁给出的是该问题的第二个原型，故事大同小异，只是主人公变成了两个自行车赛手。大意是“两辆自行车A,B间隔100米相向而行，两车都是每秒走一米，他们出发那一刻，有一只苍蝇以每秒2米的速度从A车直线往B车飞，飞到B车后转头又往A车飞，问两车相遇时，苍蝇飞了多少米。据说别人问哪个诺依曼来着，诺依曼立刻回答100米，然后那人很赞叹的说“我本还以为你会用无穷级数来算”，诺依曼说“我就是用那个算的”。。。好像出自《读者》？”

看样子，我叙述的故事中的主人公就应该是这个诺依曼。在网络上收索了一下，这个诺依曼就是匈牙利的约翰·冯·诺依曼，1903年12月28日生于匈牙利布达佩斯一个殷实的犹太人家庭里。他是一个有着相当非凡数学计算才能的人，著名的数学家。当有人向冯·诺依曼提出这道难题时，诺依曼不加思索就解了出来，这使提问者十分失望：“呀，你一定曾经听说过其中的奥妙！”诺依曼反问道：“你说的是什么奥妙？我仅是求出了无穷级数呀！”

在网络上看了一下，奥数中有类似的题目，但是都给出了直接的数字计算，而没有其它的运算。其实，即使用级数的求和运算也很简单，不知道网络上有没有人专门利用级数来解过这个问题。现在就解一下。

假定桥的长度为L,假定小狗单向跑的路程为Xd，速度为Vd，为简单起见，再假定而两列火车具有相同的速度V,设单独一列火车行驶的距离为St。可以给出更一般的表达式子，在一定的时间内,小狗跑的距离为：

Xd=2St*Vd/（2Vt）=2St*p

其中p是小狗的速度和两火车速度和的比。

所以：

Xd1=2p*St1（小狗在第一个时间段内，遇到对面的火车时跑的距离）

Xd2=2p*St2（小狗在返回时，在第二个时间段内又遇到同向火车时跑的距离）

…….

Xdn=2p*Stn

当然，最后的一次奔跑是Xdn=0，是两列火车在中点相遇。

然后对上式左、右两端分别求和：

X=∑Xdn=p*2∑St（n）= L*Vd/（2Vt）

实际上，小狗所要奔跑的路程与狗的速度和火车的速度比有关。

如果二者速度相同，那么，X=L/2。小狗和同向的火车一起在中点与对面的火车相遇，只跑了桥的一半距离；

如果小狗的速度是火车的2倍，那么，X=L。那么小狗就跑了一座桥的距离。

这道题的巧妙之处就在于，它根本不需要数字‘计算’就可以得到。此外，如果题目在宽泛一些，比如设两列火车的速度不同，那么也可依此法来进行计算。只是略微麻烦一些。

三十多年前，当我看到过这道题目的时候，我似乎从来没有想到过要解这道题。那时，只感觉这样的题目，似乎无从下手，似乎只觉得它是个用来读的故事，似乎只有大师或天才才能脱口而出，直到今天再读到这道题目，我才有勇气把它做出来。其实它未必有多难，但要开动脑筋！

一道小学或者中学的题目，需要等到大学的时候再来做！小题大做的含义原来就是这样吗？

大题小做，小题大做！