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走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅（四：覆盖空间）
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------三维流形中一个划时代证明的故事
作者：Erica Klarreich 发表：SimonsFoundation.Org 时间：2012年10月2日 翻译：杨文元
【译者注】这是翻译自Erica Klarreich发表在SimonsFoundation的一篇科普文章“Getting Into Shapes: From Hyperbolic Geometry to Cube Complexes and Back”。这篇文章通俗地详细讲述了近10多年来三维流形的研究背景和重大的进展，和一大批数学家为完善Thurston的研究纲领而所发生有趣的激动人心的故事。译文较长，计划分六次贴出，方便阅读。第一次做翻译，限于文字水平有限，这已是我竭尽所能译出，敬请方家指正。
【目录】
走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅（一：总览）
走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅（二：曲面研究）
走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅 （三：第三维）
走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅（四：覆盖空间）
走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅（五：构造曲面）
走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅（六：终结篇）
覆盖空间
数学家们再一次地从Thurston著名的论文中来寻找指导。在那个著名的公开问题列表中，他提出了许多双曲流形应具备的特征，有如下的两个猜测直接描述了这些流形应该是什么样子的：这就是几乎Haken猜想和几乎纤维化猜想。
几乎Haken猜想猜测每一个紧致的三维流形几乎是Haken的，更准备地说，我们可以用一种特别的方式去把一个紧致流形经过有限次“解开”而得到一个Haken流形。这个新的被解开的流形被称之为原流形的一个有限覆盖。
当数学家们说一个流形N覆盖着另外一个流形M时，这大致是说可以把流形N绕着流形M“缠绕”某一次数（可以无限次）后，使得M的每个的部分都和其他的部分一 样被覆盖了该相同次数。为了成为一个覆盖，所述的缠绕过程需要具备有一些很好的性质。例如， 流形N在缠绕的过程中不能自我交叠或撕裂， 同时流形M上的每个很小的部分都被流形N中和它相同的若干部分所覆盖。
让我们来看一个具体的例子。图5中那个有六个花瓣的花就可以这样来覆盖那个有三个花瓣的花：把六瓣花绕着三瓣花旋转缠绕两次就可以了。三瓣花上的每一点因而被六瓣花覆盖了两次。数学家们称六瓣花为三瓣花的一个2次覆盖。类似地，一个无限长的圆柱面可以这样覆盖一个环面：把圆柱面顺着环面无限次地一直均匀地缠绕下去。见图6。环面上的每个点都被覆盖了：闭曲线A就被圆柱面上无限多个均匀分开的闭曲线所覆盖，而闭曲线B在圆柱面上则展开成一条顺着圆柱面无限延伸的直线。
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图5：六瓣花通过自我缠绕两次来得到一个三瓣花。 |
流形上的拓扑与它覆盖空间上的拓扑是紧密联系在一起的。为了从流形的一个n次覆盖空间来得到原流形，你只需把该覆盖空间来回折叠n次就可以了。同样地，从原 流形出发，你只需要割开它，制作n个复制品，然后把这n个复制品沿着割开的边界再粘起来（当然你得到的覆盖空间依赖于你在边界如何粘合的方式）。
一个覆盖空间保持了原流形的一些拓扑性质的同时，也忽略了某些其他的性质。比如这个无限的圆柱面就依然保持了环面上的闭曲线A是在覆盖空间上也是闭合的，但是它却忘记了闭曲线B在环面是闭合的。
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图6：一个无限长的圆柱面通过无限次的缠绕环面来覆盖该环面。环面上的闭曲线A提升为圆柱面上无限多个红色的闭曲线。而闭曲线B在圆柱面上展开成为一条绿色的直线。环面上的点P提升为圆柱面上无限多个绿色的点。 |
刚才叙述的“解开”的过程正是Thurston所期望的一种方式能为给定的三维流形产生一个有限次的Haken的覆盖空间。正如我们前面讨论的，任意一个紧 致的双曲三维流形，我们没有理由期望它是Haken的（即包含一个嵌入的不可压缩的曲面）。但是，德国数学家Friedhelm Waldhausen于1968年猜测任意的这样的一个流形应该至少包含一个不可压缩的曲面，即使这个曲面可能自我相交而不是嵌入在这个流形中。
如果确实如此的话，Thurston进一步论证道：那么也许存在一个有限覆盖使得该曲面可以把自我相交的部分展开。有限覆盖常常可以做到这样的简化。例如， 图7中的三瓣花上的曲线绕着中心的空洞两次，因而不论你如何去拉伸或移动该曲线，你都不能阻止它自我相交。但是，当我们在它的覆盖空间六瓣花上从点P开始 把曲线绕开的话，最终得到的红色的曲线（数学家们称之为原曲线的提升）就只环绕中心一次，并且自我不相交。（有另外一个提升曲线即蓝色的曲线与红色的曲线相交于两个点，这两个点覆盖了三瓣花中的那个曲线交点。）
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图7：三瓣花上绿色的闭曲线自我相交，但是它在六瓣花上的两个“提升”，即红色曲线和蓝色曲线，却都不自我相交（尽管他们彼此之间相交）。 |
在他1982年的论文中，Thurston猜测给定的任意一个三维的双曲流形，应该也可以做类似的解开从而在某个有限覆盖中产生出嵌入的曲面线。换言之，这样的三维流形应该是几乎Haken的。
一个Haken流形如前解释的是可以通过粘合一个多面体的边界来得到。几乎Haken猜想就因而意味着任意一个紧致的三维双曲流形可以首先恰当地粘合一个多面体，然后再把得到的流形折叠有限次来得到。
Thurston 进一步猜测了更强的结论可能存在：任意一个紧致的双曲流形可能是几乎纤维化的，也即它有一个有限覆盖是可以纤维化的。一个在“圆上纤维化”的流形是这样构 造得到的流形：首先把一个曲面”加厚“变成一个三维流形，然后再把它的两个边界曲面按照某种方式把他们光滑的点对点地粘合起来。（这样的粘合过程是一般不 可以在我们的三维空间中实现的，除非你允许最终粘合得到的流形某些部分自我相交。因此我们只能抽象地去研究它）。这个流形称为纤维化的，是因为当我们拉伸 加厚的曲面以使得两个边界曲面充分分开以致他们就要面对面一起要粘合的时候，那么你就可以想象到最后粘合得到的流形就像一个这样的手镯：在手镯的每一点处 都有一个无限薄的形似曲面的珠子，这些珠子就是所谓的纤维。
每一个纤维化的流形都是Haken的，但反过来却不是正确的。因此，几乎纤维化猜想的结论比几乎Haken猜想的结论更强，Thurston因此并不是很有把握它确实是正确的。 “这个看起来没把握的问题似乎还是很有可能是正确的”，他在1982年的论文中这样写道。
Thurston 提出几乎Haken猜想早期的目的是为了证明几何化猜想，当时他已经对Haken流形证明了几何化猜想。如果几乎Haken猜想是正确的，从而每个紧致流 形都有一个Haken的有限覆盖的话，Thurston希望能用这个有限覆盖上的几何结构来在原流形上赋予一个几何结构。
三十年后，尽管Perelman用不同的方法证明了几何化猜想，几乎Haken猜想和几何纤维化猜想却仍然悬而未决。这两个猜想和其他的两个相关猜想是 Thurston的23个问题中仅剩的未被解决的公开问题。Thurston和伊利诺伊大学厄巴纳香槟分校的Nathan Dunfield通过计算机分析了10,000多个双曲三维流形得到数据强有力地支持几乎Haken猜想的正确性：他们对于每一个流形都找到了一个 Haken的有限覆盖。但是计算机证据支持并不是数学上证明。
当Thurston提出该猜想时，几乎Haken猜想似乎是一个小问题，但它顽固地迟迟无法证明，反映出了我们对这个问题所知如此有限“， Minsky这样评价道。”事实上结果也证明了我们在这个方面是确实是如何的无知“。
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