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走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅（一：总览）
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------三维流形中一个划时代证明的故事
作者：Erica Klarreich 发表：SimonsFoundation.Org 时间：2012年10月2日 翻译：杨文元
【译者注】这是翻译自Erica Klarreich发表在SimonsFoundation的一篇科普文章“Getting Into Shapes: From Hyperbolic Geometry to Cube Complexes and Back”。这篇文章通俗地详细讲述了近10多年来三维流形的研究背景和重大的进展，和一大批数学家为完善Thurston的研究纲领而所发生有趣的激动人心的故事。译文较长，计划分六次贴出，方便阅读。第一次做翻译，限于文字水平有限，这已是我竭尽所能译出，敬请方家指正。
【目录】
走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅（一：总览）
走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅（二：曲面研究）
走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅 （三：第三维）
走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅（四：覆盖空间）
走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅（五：构造曲面）
走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅（六：终结篇）
总览
三十年前，数学家William
Thurston清晰地阐述了一个宏大的蓝图：一个关于所有的有限的三维物体的分类纲领。
Thurston 是一位菲尔兹奖得主，他的大部分工作生涯都是在普林斯顿和康纳尔大学。他拥有一种不可思议的能力来形象化地思考通常很难想象的事物：这不仅包括我们通常三 维空间中的物体，也包括众多的以非常复杂的自我扭转和缠绕在一起的形状和物体。通常这些复杂的形状只能在高维的空间中才可以完整的展现出来。在通常其他数 学家尚未看出端倪的研究领域中，Thurston已经辨认出了其中的结构：对称变换，二维曲面，和不同的形状之间的关系等。
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William Thurston于1991年在伯克莱. Thurston于八月去世，享年65岁. (照片: 承蒙Archives of the Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach提供) |
“许多人们基于多年的学校学习有这样的一种印象， 那就是数学是一门严密的形式化学科，有着复杂的且令人非常迷惑的规则”，他在2009年时这样写道。“好的数学事实上正好相反， 它其实是一种人类可理解的艺术...当我们能理解了它的时候，就如同感受到的歌曲美妙的旋律一样”。
Thurston 宏伟蓝图的核心是在于沟通两种看上去迥然不同的研究三维物体的方法：几何和拓扑。几何的研究对象是我们所熟悉的角度，长度，面积和体积等。而拓扑则完全是 研究那些不依赖于精确的几何化的测量的性质，也即是那些经过如同对橡皮泥进行拉伸和变形下仍不改变的性质。
对于拓扑学家来说，平底锅的表面无异于桌面、铅笔表面抑或足球的表面；同样的，茶杯的表面是和炸面圈或者环的表面是同一个东西。以这种拓扑的观点来看，二维 形状的类型即曲面的类型本质上只有三类：像球的曲面，像环的曲面和带有若干个洞的环的曲面。（我们通常会以为球和环是三维的，但数学家们这里假设他们内部 是空的，把他们想象成只有面积而没有体积的二维物体。）
Thurston 的核心观察在于三维的物体或者说三维流形可以通过几何和拓扑互补的方式来研究和理解。正如在二维拓扑流形的世界中，平底锅和铅笔的表面通常以理想球面来作 为典型的几何代表。在三维流形的世界中，Thurston猜想大多数的三维流形也有一个典型的几何代表。这些典型的几何代表是如此地完美，一致和漂亮，以 致哥伦比亚大学的Walter Neumann这样形容说：“rings like a bell.” 更进一步，Thurston猜测那些即使没有典型的几何代表的三维流形仍然可以分割成有若干具有典型几何的部分。
在他1982年的论文中，Thurston阐明了所谓的“几何化猜想”，并提出了23个关于三维流形的公开问题。这些问题为数学家们提供了一个透彻理解三维 流形的路线图。（他其实列出了24个问题，尽管那个问题仍未解决，但相对主要的研究道路而言更多是一个晦涩不明的小巷）。
“Thurston有一种宝贵的能提出正确问题的能力”，加州理工学院的数学家Vladimir Markovic如是说。“任何人都可以提出问题，但是能提出导致新的洞见和漂亮的结果的问题却异常罕见。Thurston的问题却似乎总可以做到这点”。
这些问题影响了一大批数学家，其中数十人是在Thurston的指导下开始他们的博士研究的。Thurston的这些嫡传弟子们也展现出了他的个人风格。 Johns Hopkins大学的Richard Brown这样写道：“他们似乎都以小朋友观看狂欢节的兴奋来研究数学：充满惊奇异和乐趣，沉醉于每个新的发现，并乐于为推进整个的研究进展尽自己的才 能”。
在 Thurston著名的论文发表后的数十年间，数学家们遵循他的路线图，被如下的认识所驱动去研究三维流形而非关注它可能的应用：三维流形在整个物体形状 的研究中占有重要的位置。二维流形略显单调，并且易于形象化和分类。四维，五维和更高维的形状本质上无法理解的：它们的可能性是如此的巨大以致数学家们不 得不只能去研究一些很特别的形状类型。相反地，三维流形的结构神秘并引人深思，但却似乎可以达到最终的完全理解。
随着Thurston的论文发表近30周年之际，23个问题中除了四个问题外都已完全解决。这其中包括几何化猜想，被俄罗斯数学家Grigori Perelman于2002年证明。该项成就被认为是现代数学的一个重大的进展。然而，那剩下的四个问题却迟迟未被证明。
“他们迟迟未被证明意味着一些深奥的数学还未被发现”，耶鲁大学的Yair Minsky这样说道。
终于，在三月份，加州大学伯克利分校的Ian Agol宣称解决Wise的猜想而震动了数学界：因为这毕其功于一役，同时也解决了Thurston的最后的那四个公开问题。
数学家们纷纷称这一结果象征着一个时代的终结。
“Thurston在他论文中所陈述的三维流形分类纲领，在当时看来令人难以置信的，现在却已经完全实现了”，加州理工学院的Danny Calegari这样说。“他的纲领完完全全被彻底实现了：包括其中每个细节都被证明是正确的”。
“我过去以为我拥有别人所没有的某种独特的思考方式和知识”，这是在Thurston今年获得Steele奖时，大约在8月份以65岁去世的几个月前这样说 的。“我非常高兴的终于认识到这不再是正确的了：许多数学家学会了我思考问题的方式，并且很多人证明了我曾经尝试但没有成功的定理”。
Agol的结果意味着有一个简单的程序去构造所有的紧致的双曲的三维流形，正是这类三维流形长期以来没有被充分研究清楚。“我们现在可以非常准确地理解所有的三维流形的样子”，伦敦大学学院的Henry Wilton这样说，“这是由众多的努力最终汇聚而成的成果”。
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