〈组成论〉第2章（1）

第二章广义集合概念（2000.01）

　

20世纪的科学进步非常大，它的分科也越来越细。结果是各个学科都忙于开发自己的专属领地。其结果是你谈天上星我谈地下水；你研究蝴蝶我研究分子。形成了“隔行如隔山”的局面。关于客观事物的一般概念和规律性反而被冷落了。为什么会出现这种局面？缺少通用于各个学科的概念和规律确实是现代科学的一个不足。

为了统一又有效地研究各个领域的各种客观事物，就需要对客观事物这个泛泛又模糊的概念进行简化和精确化。我们在这里提出一个简化又精确化客观事物的简明事物模型，并且为它（暂时）取了一个有点数学味道的名称：广义集合。

广义集合是哲学家的客观事物概念的模型化、精确化、数学领域的集合概念的物质化和各个学科中研究对象的抽象化。它也是描述客观事物的组成问题的有力概念。

集合概念可以区分不同的事物有那些。广义集合还可以描述相同的事物有多少。广义集合与集合的这个小差别引出了很多新问题。

广义集合是为物质科学服务的数学概念。理解了它也会为很多自然科学和社会科学的教学带来方便。有了广义集合概念会使学生很快理解某些专业名词，有利于提高学习效率。§2.1问题的引入集合论的一个弱点是仅注意了性质的差别，没有分析数量的差别。例如在框图中有2个a 和3个b 。集合论则仅说明它有两种不同的元素而无力描述每种元素各有多少个。图2.1 集合和广义集合都描述一个总体，但后者还描述数量

 

19世纪的科学研究已经从面向个体转向面对总体，面向总体就得有对应的基本概念。集合论的问世就是其在数学中的反映。百多年来集合论已经发展成为数学中的基础部分。

集合论分析总体时先依照总体内的某种性质的差别把总体分成了两两彼此不同的若干个个体，并且称它为元素。

 

 

集合论仅能分辨出这里有两个元素（成员）a 和b

a，a，b，b，b

广义集合认为有五个地位相同的个体，2个a 3个b

集合语言可以指明水是由氢和氧两种元素组成的，但是不回答水分子究竟由几个氢原子几个氧原子组成的。集合论可以指出人的血型有A，B，O，AB 四种，但是不指出每种血型的人有多少。化学中的定性分析回答一个化学试样中有那些化学成分，但是不回答每种成分有多少。只有定量分析才回答后一个问题。不妨说集合语言可以用于定性分析；而定量分析要用广义集合的语言。集合语言告诉你该吃几种什么药，而不回答每种药需要吃多少。正是集合论的这个弱点引出了广义集合概念。

广义集合不仅要明确一个集合内的两两相异的元素（改称为标志）有那些，还要明确每种元素有多少个（引入个体的概念）。集合概念是一维的，广义集合概念则是两维（或多维）的。与集合概念相关的是一串数（各个元素，是对集合的一种划分）而与广义集合相关的则是一个函数，它描述不同特性的个体各有多少。

    广义集合是描述客观事物的一个通用简化模型，它是描述客观事物的组成问题的一副很合适的有色眼镜：它排斥了客观事物中某些更复杂的问题，但是也突出了客观事物中某些基本问题。

    用广义集合描述事物要用到两个基本概念，个体概念和标志（值）概念。

§2.2个体概念----强调彼此地位相同

 

 

表2.1 个体概念的例子

从表中的例子看有的场合个体的全同性很明显，有的则不大明显。

在总体内的个体有时具有相对的不可再分性（在一些场合再细分就危及了这种个体的存在。例如有时一个人就是一个个体，把人再分，就失去人的含义了，一张人民币再分就成了废纸）。

总体内的各个个体有时有不可分辩性，即从某些角度看它们没有一点差别。例如物理学上把所有的电子（质子、中子等等）都看成不可分辩的（从一定角度）。这从另一个侧面体现了全同性的重要。一个工厂生产的某种产品如果每个产品都不同，大的大，小的小根本不规范，这种产品就没有资格进入市场。全同性是对个体的一个合理又必要的要求。

有时为了某种目的还要人为地（或者天然地）把全同的个体再进一步区分开。例如每张100元的人民币确实都相同，但是每张人民币上还有一个彼此不同的号码。全国的人的法律地位都相同，每个人身份证的大小规格也相同，但是每个人必须有个彼此不同的身份证号码。每个学生在学校中的待遇应当相同，但是每个学生要有个姓名。而且全学校的学生姓名不得重复。袋子里有很多个乒乓球，如果不编号（或者为每个乒乓球取名字），你没有办法把昨天打过的哪个乒乓球再从一堆乒乓球中找出来。

为每个个体编一个彼此不重复号码或者取个彼此不重复的名字都是区分个体的办法。我们把可以编号或者取名字的个体通称为有编号的个体（可分辨个体），把无法编号的个体称为没有编号的个体（不可分辨个体）。例如个体是分子、原子等等我们几乎无法为它们编号；个体是一个国家的公民，有时必须编号（如身份证号码）。这个问题的重要性后面会逐步显示出来。

集合论的认识模型是依据“差别”把总体（客观事物）分成两两不同的若干个元素。我们把总体（客观事物、研究对象、体系、系统）从某个角度（侧面）分成若干个地位（身份、形态、特性）相同的部分，其每个部分都称为个体。一副麻将牌是一个总体，我们注意到尽管它们的正面可能不同但是它们的背面必须完全相同。这表明该总体内从某种角度看有着很多地位相同的个体。在物理学和化学中我们常常要把研究的对象看成是完全相同的电子、质子或者原子就是很好的例子（表2.1）。

总体	个体名称	地位相同的侧面
一副麻将牌	一张牌	牌的背面的形状都相同
图书中的字符	一个字符	占的面积（或内存）都相同
一个商店的音像制品	一张光盘	光盘的大小都相同
书店里大16开本的书	一本书	书的面积相同
地球上的空气	一克空气	质量相同
太湖的水	一升水	体积相同
瓶子里的氧气	一个氧分子	分子的分子量相同
中国人	一个中国人	在法律面前的地位相同

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